Номер 870, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 870, страница 219.
№870 (с. 219)
Условие. №870 (с. 219)
скриншот условия

870. Решите уравнение:
1) $\frac{2x+6}{x+3}=2;$
2) $\frac{x^2-16}{x+4}=-8;$
3) $\frac{2x-9}{2x+5}+\frac{3x}{3x-2}=2;$
4) $\frac{5x^2+8}{x^2-16}=\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}.$
Решение 1. №870 (с. 219)




Решение 2. №870 (с. 219)

Решение 3. №870 (с. 219)

Решение 4. №870 (с. 219)

Решение 5. №870 (с. 219)


Решение 6. №870 (с. 219)

Решение 7. №870 (с. 219)

Решение 8. №870 (с. 219)
1) Решим уравнение $\frac{2x+6}{x+3} = 2$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.
Теперь преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:
$2x+6 = 2(x+3)$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$\frac{2(x+3)}{x+3} = 2$.
Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:
$2 = 2$.
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение справедливо для любого значения $x$ из области допустимых значений.
Ответ: $x$ - любое число, кроме $-3$.
2) Решим уравнение $\frac{x^2-16}{x+4} = -8$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.
Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.
Подставим разложенный числитель в уравнение:
$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = -8$.
При условии, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$:
$x-4 = -8$.
Решим полученное линейное уравнение:
$x = -8 + 4$
$x = -4$.
Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие ОДЗ: $x \neq -4$. Найденный корень $x = -4$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.
3) Решим уравнение $\frac{2x-9}{2x+5} + \frac{3x}{3x-2} = 2$.
ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю.
$2x+5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -5 \Rightarrow x \neq -2.5$.
$3x-2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 2 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$.
Перенесем 2 в левую часть уравнения и приведем все слагаемые к общему знаменателю $(2x+5)(3x-2)$:
$\frac{(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2)}{(2x+5)(3x-2)} = 0$.
Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:
$(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2) = 0$.
Раскроем скобки:
$(6x^2 - 4x - 27x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 - 4x + 15x - 10) = 0$.
$(6x^2 - 31x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 + 11x - 10) = 0$.
$12x^2 - 16x + 18 - 12x^2 - 22x + 20 = 0$.
Приведем подобные слагаемые:
$(12x^2 - 12x^2) + (-16x - 22x) + (18 + 20) = 0$.
$-38x + 38 = 0$.
$-38x = -38$.
$x = 1$.
Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $1 \neq -2.5$ и $1 \neq \frac{2}{3}$. Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.
Ответ: $1$.
4) Решим уравнение $\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - \frac{3x-1}{4-x}$.
ОДЗ: $x^2-16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$. Также $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 4$.
Преобразуем последнюю дробь: $\frac{3x-1}{4-x} = \frac{3x-1}{-(x-4)} = -\frac{3x-1}{x-4}$.
Уравнение примет вид:
$\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - (-\frac{3x-1}{x-4})$.
$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x+4} + \frac{3x-1}{x-4}$.
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$:
$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{(2x-1)(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{(3x-1)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$.
Так как знаменатели равны и не равны нулю (в силу ОДЗ), мы можем приравнять числители:
$5x^2+8 = (2x-1)(x-4) + (3x-1)(x+4)$.
Раскроем скобки в правой части:
$5x^2+8 = (2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4)$.
$5x^2+8 = (2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4)$.
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$5x^2+8 = (2x^2+3x^2) + (-9x+11x) + (4-4)$.
$5x^2+8 = 5x^2 + 2x$.
Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:
$8 = 2x$.
$x = 4$.
Проверим найденный корень. Согласно ОДЗ, $x \neq 4$. Полученное значение $x=4$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.
Ответ: корней нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 870 расположенного на странице 219 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №870 (с. 219), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.