Номер 870, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 870, страница 219.

Условие.

870. Решите уравнение:

1) $\frac{2x+6}{x+3}=2;$

2) $\frac{x^2-16}{x+4}=-8;$

3) $\frac{2x-9}{2x+5}+\frac{3x}{3x-2}=2;$

4) $\frac{5x^2+8}{x^2-16}=\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $\frac{2x+6}{x+3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Теперь преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$2x+6 = 2(x+3)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{2(x+3)}{x+3} = 2$.

Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$2 = 2$.

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение справедливо для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $-3$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2-16}{x+4} = -8$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Подставим разложенный числитель в уравнение:

$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = -8$.

При условии, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$:

$x-4 = -8$.

Решим полученное линейное уравнение:

$x = -8 + 4$

$x = -4$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие ОДЗ: $x \neq -4$. Найденный корень $x = -4$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) Решим уравнение $\frac{2x-9}{2x+5} + \frac{3x}{3x-2} = 2$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю.

$2x+5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -5 \Rightarrow x \neq -2.5$.

$3x-2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 2 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$.

Перенесем 2 в левую часть уравнения и приведем все слагаемые к общему знаменателю $(2x+5)(3x-2)$:

$\frac{(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2)}{(2x+5)(3x-2)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2) = 0$.

Раскроем скобки:

$(6x^2 - 4x - 27x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 - 4x + 15x - 10) = 0$.

$(6x^2 - 31x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 + 11x - 10) = 0$.

$12x^2 - 16x + 18 - 12x^2 - 22x + 20 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(12x^2 - 12x^2) + (-16x - 22x) + (18 + 20) = 0$.

$-38x + 38 = 0$.

$-38x = -38$.

$x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $1 \neq -2.5$ и $1 \neq \frac{2}{3}$. Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.

4) Решим уравнение $\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - \frac{3x-1}{4-x}$.

ОДЗ: $x^2-16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$. Также $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Преобразуем последнюю дробь: $\frac{3x-1}{4-x} = \frac{3x-1}{-(x-4)} = -\frac{3x-1}{x-4}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - (-\frac{3x-1}{x-4})$.

$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x+4} + \frac{3x-1}{x-4}$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$:

$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{(2x-1)(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{(3x-1)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$.

Так как знаменатели равны и не равны нулю (в силу ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$5x^2+8 = (2x-1)(x-4) + (3x-1)(x+4)$.

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2+8 = (2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4)$.

$5x^2+8 = (2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4)$.

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x^2+8 = (2x^2+3x^2) + (-9x+11x) + (4-4)$.

$5x^2+8 = 5x^2 + 2x$.

Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:

$8 = 2x$.

$x = 4$.

Проверим найденный корень. Согласно ОДЗ, $x \neq 4$. Полученное значение $x=4$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.