Номер 864, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 864, страница 218.

Условие.

864. Дано: $3x - \frac{1}{x} = 8$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся данным равенством $3x - \frac{1}{x} = 8$.

Заметим, что искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$ состоит из квадратов слагаемых $(3x)$ и $(\frac{1}{x})$. Поэтому возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(3x - \frac{1}{x})^2 = 8^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 64$

Теперь упростим полученное выражение. Обратите внимание, что $x$ в числителе и знаменателе среднего члена сокращаются:

$9x^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2} = 64$

$9x^2 - 6 + \frac{1}{x^2} = 64$

Мы получили уравнение, которое содержит искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$. Чтобы найти его значение, перенесем $-6$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 64 + 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 70$

Ответ: 70