Номер 859, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 859, страница 217.

Условие.

859. Выполните умножение:

1) $ \frac{9x}{y} \cdot \frac{y}{24x}; $

2) $ \frac{m^2 n^3}{25t} \cdot \left(\frac{-5t}{mn^2}\right); $

3) $ \frac{16a^4}{21b^5} \cdot \frac{9b^2}{10a^3}; $

4) $ 26m^2 \cdot \frac{3n^2}{13m^4}; $

5) $ \frac{24t^7}{16u^3} \cdot 34u^5; $

6) $ \frac{4x^5 y^2}{7a^3 b} \cdot \frac{21xb^2}{10y^3 a^2} \cdot \frac{25a^5 y}{3x^4 b}; $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{9x}{y} \cdot \frac{y}{24x} = \frac{9x \cdot y}{y \cdot 24x} = \frac{9xy}{24xy}$

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем одинаковые переменные $x$ и $y$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем числовые коэффициенты 9 и 24 на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{9}{24} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{8}$

Таким образом, получаем:

$\frac{9xy}{24xy} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

2) Умножаем числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй. Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным:

$\frac{m^2n^3}{25t} \cdot \left(\frac{-5t}{mn^2}\right) = -\frac{m^2n^3 \cdot 5t}{25t \cdot mn^2}$

Сокращаем дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Теперь сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^p} = a^{k-p}$:

$\frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m$

$\frac{n^3}{n^2} = n^{3-2} = n$

$\frac{t}{t} = 1$

Собираем все вместе, не забывая про знак минус:

$-\frac{1 \cdot m \cdot n \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot 1} = -\frac{mn}{5}$

Ответ: $-\frac{mn}{5}$

3) Выполняем умножение дробей, перемножая числители и знаменатели:

$\frac{16a^4}{21b^5} \cdot \frac{9b^2}{10a^3} = \frac{16a^4 \cdot 9b^2}{21b^5 \cdot 10a^3}$

Для упрощения, сократим коэффициенты и переменные. Удобнее сделать это до перемножения:

$\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ (сократили на 2)

$\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ (сократили на 3)

$\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a$

$\frac{b^2}{b^5} = \frac{1}{b^{5-2}} = \frac{1}{b^3}$

Теперь перемножим сокращенные части:

$\frac{8a}{7b^3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8a \cdot 3}{7b^3 \cdot 5} = \frac{24a}{35b^3}$

Ответ: $\frac{24a}{35b^3}$

4) Представим выражение $26m^2$ в виде дроби $\frac{26m^2}{1}$ и выполним умножение:

$26m^2 \cdot \frac{3n^2}{13m^4} = \frac{26m^2}{1} \cdot \frac{3n^2}{13m^4} = \frac{26m^2 \cdot 3n^2}{13m^4}$

Сокращаем полученную дробь:

$\frac{26}{13} = 2$

$\frac{m^2}{m^4} = \frac{1}{m^{4-2}} = \frac{1}{m^2}$

Переменная $n^2$ остается в числителе. Собираем результат:

$\frac{2 \cdot 3n^2}{m^2} = \frac{6n^2}{m^2}$

Ответ: $\frac{6n^2}{m^2}$

5) Представим выражение $34u^5$ в виде дроби $\frac{34u^5}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{24t^7}{16u^3} \cdot 34u^5 = \frac{24t^7}{16u^3} \cdot \frac{34u^5}{1} = \frac{24t^7 \cdot 34u^5}{16u^3}$

Сократим коэффициенты и переменные:

$\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ (сократили на 8)

$\frac{u^5}{u^3} = u^{5-3} = u^2$

Теперь перемножим оставшиеся части:

$\frac{3t^7}{2} \cdot 34u^2 = \frac{3t^7 \cdot 34u^2}{2} = 3t^7 \cdot 17u^2 = 51t^7u^2$

Ответ: $51t^7u^2$

6) Чтобы перемножить три дроби, запишем произведение их числителей в новый числитель, а произведение знаменателей — в новый знаменатель:

$\frac{4x^5y^2}{7a^3b} \cdot \frac{21xb^2}{10y^3a^2} \cdot \frac{25a^5y}{3x^4b} = \frac{4x^5y^2 \cdot 21xb^2 \cdot 25a^5y}{7a^3b \cdot 10y^3a^2 \cdot 3x^4b}$

Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями для удобства сокращения:

$\frac{(4 \cdot 21 \cdot 25) \cdot (x^5 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot a^5 \cdot b^2}{(7 \cdot 10 \cdot 3) \cdot x^4 \cdot y^3 \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b \cdot b)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{2100 \cdot x^6 \cdot y^3 \cdot a^5 \cdot b^2}{210 \cdot x^4 \cdot y^3 \cdot a^5 \cdot b^2}$

Теперь сократим дробь:

$\frac{2100}{210} = 10$

$\frac{x^6}{x^4} = x^{6-4} = x^2$

$\frac{y^3}{y^3} = 1$

$\frac{a^5}{a^5} = 1$

$\frac{b^2}{b^2} = 1$

Результатом будет произведение оставшихся множителей:

$10 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 10x^2$

Ответ: $10x^2$