Номер 852, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 852, страница 217.

Условие.

852. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

1) $\frac{a-7}{a}$;

2) $\frac{a^2+2a-2}{a+2}$;

3) $\frac{x^2+3x-2}{x-3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби, нужно выделить целую часть. Для этого можно разделить числитель на знаменатель.
$\frac{a-7}{a} = \frac{a}{a} - \frac{7}{a}$
Сокращаем первое слагаемое $\frac{a}{a}=1$.
В результате получаем сумму целого выражения (1) и дроби ($-\frac{7}{a}$):
$1 - \frac{7}{a}$
Ответ: $1 - \frac{7}{a}$

2) Чтобы представить дробь $\frac{a^2+2a-2}{a+2}$ в виде суммы, выделим целую часть. Это можно сделать путем преобразования числителя или делением многочленов "уголком".
Способ 1: Преобразование числителя.
Выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю $a+2$:
$a^2+2a-2 = a(a+2)-2$
Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:
$\frac{a(a+2)-2}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{2}{a+2} = a - \frac{2}{a+2}$
Таким образом, мы представили дробь в виде суммы целого выражения $a$ и дроби $-\frac{2}{a+2}$.
Ответ: $a - \frac{2}{a+2}$

3) Для дроби $\frac{x^2+3x-2}{x-3}$ применим метод деления многочленов "уголком", чтобы выделить целую часть.
Делим $x^2+3x-2$ на $x-3$:
1. Делим $x^2$ на $x$, получаем $x$. Это первая часть целого выражения.
2. Умножаем $x$ на $(x-3)$, получаем $x^2-3x$.
3. Вычитаем из делимого: $(x^2+3x-2) - (x^2-3x) = 6x-2$.
4. Делим $6x$ на $x$, получаем $6$. Это вторая часть целого выражения.
5. Умножаем $6$ на $(x-3)$, получаем $6x-18$.
6. Вычитаем из остатка: $(6x-2) - (6x-18) = 16$.
В результате деления получили целую часть (частное) $x+6$ и остаток $16$.
Следовательно, дробь можно записать так:
$x+6 + \frac{16}{x-3}$
Ответ: $x+6 + \frac{16}{x-3}$