Номер 851, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 851, страница 217.
№851 (с. 217)
Условие. №851 (с. 217)
скриншот условия

851. Докажите тождество:
$\frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} = 0.$
Решение 1. №851 (с. 217)

Решение 2. №851 (с. 217)

Решение 3. №851 (с. 217)

Решение 4. №851 (с. 217)

Решение 5. №851 (с. 217)

Решение 6. №851 (с. 217)

Решение 7. №851 (с. 217)

Решение 8. №851 (с. 217)
Для доказательства тождества необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна нулю. Основной метод — приведение всех дробей к общему знаменателю.
Исходное выражение в левой части:
$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} $$
Для удобства приведения к общему знаменателю приведем множители в знаменателях к единому циклическому виду: $(a-b), (b-c), (c-a)$.
Рассмотрим знаменатели каждой дроби:
- Первая дробь: знаменатель $(b-c)(c-a)$ уже в нужном виде.
- Вторая дробь: знаменатель $(a-b)(c-b)$. Преобразуем множитель $(c-b) = -(b-c)$. Тогда знаменатель равен $-(a-b)(b-c)$.
- Третья дробь: знаменатель $(a-c)(b-a)$. Преобразуем оба множителя: $(a-c) = -(c-a)$ и $(b-a) = -(a-b)$. Тогда их произведение равно $(-(c-a))(-(a-b)) = (a-b)(c-a)$.
Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:
$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{-(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$
Упростим знак второй дроби (минус на минус дает плюс):
$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$
Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.
- Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-b)$.
- Дополнительный множитель для второй дроби: $(c-a)$.
- Дополнительный множитель для третьей дроби: $(b-c)$.
Получим следующее выражение:
$$ \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
Сложим числители, оставив знаменатель без изменений:
$$ \frac{(a-b) + (c-a) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
Раскроем скобки в числителе и сгруппируем подобные члены:
$$ \frac{a - b + c - a + b - c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$
Вычислим значение числителя:
$$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$
Таким образом, левая часть равенства равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано при условии, что $a \neq b, b \neq c, c \neq a$.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 851 расположенного на странице 217 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №851 (с. 217), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.