Номер 851, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 851, страница 217.

Условие.

851. Докажите тождество:

$\frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна нулю. Основной метод — приведение всех дробей к общему знаменателю.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} $$

Для удобства приведения к общему знаменателю приведем множители в знаменателях к единому циклическому виду: $(a-b), (b-c), (c-a)$.

Рассмотрим знаменатели каждой дроби:

1. Первая дробь: знаменатель $(b-c)(c-a)$ уже в нужном виде.
2. Вторая дробь: знаменатель $(a-b)(c-b)$. Преобразуем множитель $(c-b) = -(b-c)$. Тогда знаменатель равен $-(a-b)(b-c)$.
3. Третья дробь: знаменатель $(a-c)(b-a)$. Преобразуем оба множителя: $(a-c) = -(c-a)$ и $(b-a) = -(a-b)$. Тогда их произведение равно $(-(c-a))(-(a-b)) = (a-b)(c-a)$.

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{-(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$

Упростим знак второй дроби (минус на минус дает плюс):

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.

• Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-b)$.
• Дополнительный множитель для второй дроби: $(c-a)$.
• Дополнительный множитель для третьей дроби: $(b-c)$.

Получим следующее выражение:

$$ \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$$ \frac{(a-b) + (c-a) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем подобные члены:

$$ \frac{a - b + c - a + b - c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Вычислим значение числителя:

$$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$

Таким образом, левая часть равенства равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано при условии, что $a \neq b, b \neq c, c \neq a$.

Ответ: Тождество доказано.