Номер 849, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 849, страница 216.

Условие.

849. Выполните действия:

1) $\frac{8}{x} - \frac{5}{y}$;

2) $\frac{7}{ab} + \frac{5}{b}$;

3) $\frac{5}{24xy} - \frac{7}{18xy}$;

4) $\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{2b - 1}{a^2b}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{8}{x}$ и $\frac{5}{y}$ общим знаменателем является произведение их знаменателей, то есть $xy$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби ($\frac{8}{x}$): $\frac{xy}{x} = y$.

Для второй дроби ($\frac{5}{y}$): $\frac{xy}{y} = x$.

Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{8}{x} - \frac{5}{y} = \frac{8 \cdot y}{xy} - \frac{5 \cdot x}{xy} = \frac{8y - 5x}{xy}$.

Ответ: $\frac{8y - 5x}{xy}$.

2) Для сложения дробей $\frac{7}{ab}$ и $\frac{5}{b}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели $ab$ и $b$. Наименьший общий знаменатель — $ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{ab}{ab} = 1$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{ab}{b} = a$.

Выполним сложение, умножив числитель второй дроби на дополнительный множитель:

$\frac{7}{ab} + \frac{5}{b} = \frac{7}{ab} + \frac{5 \cdot a}{ab} = \frac{7 + 5a}{ab}$.

Ответ: $\frac{7 + 5a}{ab}$.

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{5}{24xy}$ и $\frac{7}{18xy}$, найдем общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов 24 и 18.

Разложим числа 24 и 18 на простые множители:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(24, 18) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Общий знаменатель дробей — $72xy$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{72xy}{24xy} = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{72xy}{18xy} = 4$.

Выполним вычитание:

$\frac{5}{24xy} - \frac{7}{18xy} = \frac{5 \cdot 3}{72xy} - \frac{7 \cdot 4}{72xy} = \frac{15 - 28}{72xy} = \frac{-13}{72xy} = -\frac{13}{72xy}$.

Ответ: $-\frac{13}{72xy}$.

4) Чтобы выполнить вычитание $\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{2b - 1}{a^2b}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a^2b^2$ и $a^2b$ — это $a^2b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 1.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2b^2}{a^2b} = b$.

Умножим числитель второй дроби на дополнительный множитель $b$ и выполним вычитание:

$\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{(2b - 1) \cdot b}{a^2b^2} = \frac{(5b^2 - 8b + 1) - (2b^2 - b)}{a^2b^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который меняет знаки в ее числителе:

$\frac{5b^2 - 8b + 1 - 2b^2 + b}{a^2b^2} = \frac{(5b^2 - 2b^2) + (-8b + b) + 1}{a^2b^2} = \frac{3b^2 - 7b + 1}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{3b^2 - 7b + 1}{a^2b^2}$.