Номер 854, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 854, страница 217.

Условие.

854. Найдите все натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:

1) $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n}$;

2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2}$;

3) $\frac{10 - 4n}{n}$;

4) $\frac{12 - 3n}{n}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы значение выражения $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы оно было целым и положительным.
Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{12n^2 - 5n + 33}{n} = \frac{12n^2}{n} - \frac{5n}{n} + \frac{33}{n} = 12n - 5 + \frac{33}{n}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $12n - 5$ является целым числом. Чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{33}{n}$ была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 33.
Натуральные делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
Проверим, будет ли значение выражения натуральным (положительным) для каждого из этих $n$:

• При $n=1$: $12(1) - 5 + \frac{33}{1} = 12 - 5 + 33 = 40$. 40 — натуральное число.
• При $n=3$: $12(3) - 5 + \frac{33}{3} = 36 - 5 + 11 = 42$. 42 — натуральное число.
• При $n=11$: $12(11) - 5 + \frac{33}{11} = 132 - 5 + 3 = 130$. 130 — натуральное число.
• При $n=33$: $12(33) - 5 + \frac{33}{33} = 396 - 5 + 1 = 392$. 392 — натуральное число.

Все найденные значения $n$ подходят.
Ответ: 1, 3, 11, 33.

2) Рассмотрим выражение $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2}$.
Преобразуем его:
$\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2} + \frac{54}{n^2} = n - 6 + \frac{54}{n^2}$.
Для того чтобы значение этого выражения было целым, необходимо, чтобы $\frac{54}{n^2}$ было целым числом. Это означает, что $n^2$ должно быть делителем числа 54.
Делители числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Теперь выберем из них те, которые являются квадратами натуральных чисел:

• $n^2 = 1 \implies n=1$.
• $n^2 = 9 \implies n=3$.

Других полных квадратов среди делителей 54 нет. Таким образом, возможные значения $n$ — это 1 и 3.
Проверим, будет ли значение выражения натуральным числом для этих $n$:

• При $n=1$: $1 - 6 + \frac{54}{1^2} = 1 - 6 + 54 = 49$. 49 — натуральное число.
• При $n=3$: $3 - 6 + \frac{54}{3^2} = 3 - 6 + \frac{54}{9} = -3 + 6 = 3$. 3 — натуральное число.

Оба значения $n$ подходят.
Ответ: 1, 3.

3) Рассмотрим выражение $\frac{10 - 4n}{n}$.
Преобразуем его:
$\frac{10 - 4n}{n} = \frac{10}{n} - \frac{4n}{n} = \frac{10}{n} - 4$.
Чтобы значение выражения было целым, $n$ должно быть натуральным делителем числа 10.
Натуральные делители 10: 1, 2, 5, 10.
Кроме того, значение выражения должно быть натуральным, то есть положительным:
$\frac{10}{n} - 4 > 0$
$\frac{10}{n} > 4$
$10 > 4n$ (так как $n$ - натуральное число, $n > 0$)
$n < \frac{10}{4}$
$n < 2.5$
Из натуральных делителей числа 10 (1, 2, 5, 10) этому условию удовлетворяют только $n=1$ и $n=2$.
Проверим их:

• При $n=1$: $\frac{10}{1} - 4 = 10 - 4 = 6$. 6 — натуральное число.
• При $n=2$: $\frac{10}{2} - 4 = 5 - 4 = 1$. 1 — натуральное число.

Ответ: 1, 2.

4) Рассмотрим выражение $\frac{12 - 3n}{n}$.
Преобразуем его:
$\frac{12 - 3n}{n} = \frac{12}{n} - \frac{3n}{n} = \frac{12}{n} - 3$.
Чтобы значение выражения было целым, $n$ должно быть натуральным делителем числа 12.
Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Значение выражения должно быть натуральным, то есть положительным:
$\frac{12}{n} - 3 > 0$
$\frac{12}{n} > 3$
$12 > 3n$
$n < 4$
Из натуральных делителей числа 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12) этому условию удовлетворяют $n=1$, $n=2$ и $n=3$.
Проверим их:

• При $n=1$: $\frac{12}{1} - 3 = 12 - 3 = 9$. 9 — натуральное число.
• При $n=2$: $\frac{12}{2} - 3 = 6 - 3 = 3$. 3 — натуральное число.
• При $n=3$: $\frac{12}{3} - 3 = 4 - 3 = 1$. 1 — натуральное число.

Ответ: 1, 2, 3.