Номер 860, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 860, страница 218.

Условие.

860. Выполните умножение:

1) $ \frac{2xy - y^2}{9} \cdot \frac{36}{y^4}; $

2) $ \frac{a^2 - 7ab}{a^2 + 2ab} \cdot \frac{a^2b + 2ab^2}{a^3 - 7a^2b}; $

3) $ \frac{m^2 - 64}{m^3 - 9m^2} \cdot \frac{m^2 - 81}{m^2 + 8m}; $

4) $ \frac{2x^2 - 16x + 32}{3x^2 - 6x + 12} \cdot \frac{x^3 + 8}{4x^2 - 64}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Чтобы выполнить умножение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $y$ за скобки.

$\frac{2xy - y^2}{9} \cdot \frac{36}{y^4} = \frac{y(2x - y)}{9} \cdot \frac{36}{y^4}$

Теперь перемножим числители и знаменатели:

$\frac{y(2x - y) \cdot 36}{9 \cdot y^4}$

Сократим полученную дробь. Сокращаем $36$ и $9$ на $9$. Сокращаем $y$ и $y^4$ на $y$.

$\frac{y(2x - y) \cdot 4 \cdot 9}{9 \cdot y \cdot y^3} = \frac{4(2x - y)}{y^3}$

Ответ: $\frac{4(2x - y)}{y^3}$

2)

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, вынося общие множители за скобки.

Числитель первой дроби: $a^2 - 7ab = a(a - 7b)$

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 2ab = a(a + 2b)$

Числитель второй дроби: $a^2b + 2ab^2 = ab(a + 2b)$

Знаменатель второй дроби: $a^3 - 7a^2b = a^2(a - 7b)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{a(a - 7b)}{a(a + 2b)} \cdot \frac{ab(a + 2b)}{a^2(a - 7b)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители: $a$, $(a - 7b)$ и $(a + 2b)$.

$\frac{a(a - 7b) \cdot ab(a + 2b)}{a(a + 2b) \cdot a^2(a - 7b)} = \frac{ab}{a^2}$

Сократим оставшуюся дробь на $a$:

$\frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

3)

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $m^2 - 64 = m^2 - 8^2 = (m - 8)(m + 8)$

Знаменатель первой дроби: $m^3 - 9m^2 = m^2(m - 9)$

Числитель второй дроби: $m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m - 9)(m + 9)$

Знаменатель второй дроби: $m^2 + 8m = m(m + 8)$

Запишем произведение с разложенными выражениями:

$\frac{(m - 8)(m + 8)}{m^2(m - 9)} \cdot \frac{(m - 9)(m + 9)}{m(m + 8)}$

Перемножим и сократим общие множители $(m + 8)$ и $(m - 9)$.

$\frac{(m - 8)(m + 8)(m - 9)(m + 9)}{m^2(m - 9)m(m + 8)} = \frac{(m - 8)(m + 9)}{m^2 \cdot m} = \frac{(m - 8)(m + 9)}{m^3}$

Ответ: $\frac{(m - 8)(m + 9)}{m^3}$

4)

Разложим на множители все числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $2x^2 - 16x + 32 = 2(x^2 - 8x + 16) = 2(x - 4)^2$ (формула квадрата разности).

Знаменатель первой дроби: $3x^2 - 6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)$ (выражение $x^2 - 2x + 4$ не раскладывается на множители с действительными корнями, так как его дискриминант отрицательный).

Числитель второй дроби: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ (формула суммы кубов).

Знаменатель второй дроби: $4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16) = 4(x - 4)(x + 4)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$\frac{2(x - 4)^2}{3(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{4(x - 4)(x + 4)} = \frac{2(x - 4)(x - 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{3(x^2 - 2x + 4) \cdot 4(x - 4)(x + 4)}$

Сократим общие множители: $(x - 4)$, $(x^2 - 2x + 4)$, а также числовые коэффициенты $2$ и $4$.

$\frac{\cancel{2}(x - 4)\cancel{(x - 4)}(x + 2)\cancel{(x^2 - 2x + 4)}}{3\cancel{(x^2 - 2x + 4)} \cdot \cancel{4}_2 \cancel{(x - 4)}(x + 4)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{3 \cdot 2 \cdot (x + 4)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{6(x + 4)}$

Ответ: $\frac{(x-4)(x+2)}{6(x+4)}$