Номер 865, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 865, страница 218.

Условие.

865. Дано: $4x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Найдите значение выражения $2x - \frac{1}{x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения значения выражения $2x - \frac{1}{x}$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть искомое выражение $A = 2x - \frac{1}{x}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$A^2 = (2x - \frac{1}{x})^2$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности, где $a=2x$ и $b=\frac{1}{x}$:

$A^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2$

Упростим полученное выражение:

$A^2 = 4x^2 - 4 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2}$

$A^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать выражение, данное в условии задачи:

$A^2 = (4x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4$

По условию, $4x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Подставим это значение в наше уравнение:

$A^2 = 6 - 4$

$A^2 = 2$

Теперь найдем значение $A$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два решения:

$A = \sqrt{2}$ или $A = -\sqrt{2}$

Таким образом, выражение $2x - \frac{1}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: $\sqrt{2}; -\sqrt{2}$.