Номер 869, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 869, страница 219.

Условие.

869. Упростите выражение:

1) $ \frac{a + \frac{25}{a + 10}}{\frac{25}{a} - a} $;

2) $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a+1}}} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для упрощения данного выражения, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель основной дроби.

Шаг 1: Упрощение числителя $a + \frac{25}{a+10}$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $(a+10)$: $a + \frac{25}{a+10} = \frac{a(a+10)}{a+10} + \frac{25}{a+10} = \frac{a^2+10a+25}{a+10}$.

Выражение в числителе $a^2+10a+25$ является полным квадратом суммы $(a+5)^2$. Таким образом, числитель упрощается до $\frac{(a+5)^2}{a+10}$.

Шаг 2: Упрощение знаменателя $\frac{25}{a} - a$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $a$: $\frac{25}{a} - a = \frac{25}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{25-a^2}{a}$.

Выражение в числителе $25-a^2$ является разностью квадратов $5^2-a^2 = (5-a)(5+a)$. Таким образом, знаменатель упрощается до $\frac{(5-a)(5+a)}{a}$.

Шаг 3: Деление упрощенного числителя на упрощенный знаменатель.

Исходное выражение теперь имеет вид: $\frac{\frac{(a+5)^2}{a+10}}{\frac{(5-a)(5+a)}{a}}$.

Для деления дробей, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю: $\frac{(a+5)^2}{a+10} \cdot \frac{a}{(5-a)(5+a)}$.

Сократим общий множитель $(a+5)$, так как $(a+5)^2=(a+5)(a+5)$ и $(5+a)=(a+5)$: $\frac{(a+5)(a+5)}{a+10} \cdot \frac{a}{(5-a)(a+5)} = \frac{a(a+5)}{(a+10)(5-a)}$.

Ответ: $\frac{a(a+5)}{(5-a)(a+10)}$

2)

Для упрощения данного выражения будем двигаться пошагово изнутри наружу.

Шаг 1: Упростим самое внутреннее выражение $1 - \frac{1}{a+1}$.

Приведем к общему знаменателю $(a+1)$: $1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующую часть дроби.

Выражение $1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a+1}}$ превращается в $1 - \frac{a}{\frac{a}{a+1}}$.

Упростим дробь $\frac{a}{\frac{a}{a+1}} = a \div \frac{a}{a+1} = a \cdot \frac{a+1}{a} = a+1$.

Шаг 3: Теперь все выражение имеет вид $1 - \frac{1}{1-(a+1)}$.

Упростим знаменатель: $1 - (a+1) = 1 - a - 1 = -a$.

Шаг 4: Подставим упрощенный знаменатель обратно.

Выражение становится $1 - \frac{1}{-a} = 1 + \frac{1}{a}$.

Шаг 5: Приведем к общему знаменателю $a$.

$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$.

Ответ: $\frac{a+1}{a}$