Номер 871, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 871, страница 219.

Условие.

871. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ \frac{x+2}{x+a}=0; $

2) $ \frac{x-a}{x-1}=0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Данное уравнение $\frac{x+2}{x+a}=0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+2=0 \\ x+a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим корень числителя:

$x+2=0 \implies x=-2$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ знаменатель не обращается в ноль при $x=-2$. Подставим найденное значение $x$ во второе условие системы:

$-2+a \neq 0 \implies a \neq 2$

Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$:

1. Если $a \neq 2$, то условие $x+a \neq 0$ выполняется, и уравнение имеет единственный корень $x=-2$.

2. Если $a=2$, то при $x=-2$ знаменатель $x+a$ обращается в ноль (так как $-2+2=0$). В этом случае корень числителя совпадает с недопустимым значением переменной, поэтому уравнение не имеет решений. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x+2}{x+2}=0$, что равносильно $1=0$ (при условии $x \neq -2$). Это равенство неверно, следовательно, корней нет.

Ответ: если $a=2$, то корней нет; если $a \neq 2$, то $x=-2$.

---

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{x-a}{x-1}=0$.

Это уравнение будет иметь решение, если его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x-a=0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $x$:

$x-a=0 \implies x=a$

Теперь подставим это значение $x$ в условие неравенства, чтобы найти ограничения на параметр $a$:

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$

Проанализируем результат в зависимости от значения параметра $a$:

1. Если $a \neq 1$, то условие $x-1 \neq 0$ при $x=a$ выполняется. Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=a$.

2. Если $a=1$, то корень числителя $x=a=1$ является значением, при котором знаменатель $x-1$ обращается в ноль. Это означает, что при $a=1$ уравнение не имеет решений. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=0$, что равносильно $1=0$ (при условии $x \neq 1$). Это равенство неверно, следовательно, корней нет.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=a$.