Номер 872, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 872, страница 219.

Условие.

872. Найдите значение выражения:

1) $2^{-3} + 4^{-2};$

2) $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1};$

3) $(\frac{1}{3})^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{2};$

4) $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} + 4^{-2}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Преобразуем каждое слагаемое:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2+1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$

2) Чтобы найти значение выражения $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1}$, вычислим значение каждого члена по отдельности.
Для первого члена используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-2} = (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.
Для второго члена используем свойство $a^0 = 1$ (для любого $a \ne 0$):
$(-1,8)^0 = 1$.
Для третьего члена используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{25}{9} + 1 - \frac{1}{5}$.
Приведем все к общему знаменателю 45:
$\frac{25 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 45}{45} - \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{125}{45} + \frac{45}{45} - \frac{9}{45} = \frac{125+45-9}{45} = \frac{170-9}{45} = \frac{161}{45}$.
Выделим целую часть: $\frac{161}{45} = 3\frac{26}{45}$.
Ответ: $\frac{161}{45}$

3) Для нахождения значения выражения $(\frac{1}{3})^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^2$ преобразуем каждый множитель.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ для первого множителя:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$.
Возведем в степень второй множитель:
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$27 \cdot \frac{4}{9} = \frac{27 \cdot 4}{9}$.
Сократим 27 и 9 на 9:
$\frac{3 \cdot 4}{1} = 12$.
Ответ: $12$

4) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2}$, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для каждого члена.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 8, 6 и 9. Это 72.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} + \frac{1 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{9}{72} - \frac{12}{72} + \frac{8}{72}$.
Выполним действия с числителями:
$\frac{9 - 12 + 8}{72} = \frac{-3 + 8}{72} = \frac{5}{72}$.
Ответ: $\frac{5}{72}$