Номер 876, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 876, страница 220.

Условие.

876. Найдите значение выражения:

1) $25^{-3} \cdot 5^8$;

2) $64^{-3} \cdot 32^{-3}$;

3) $10^{-10} : 1000^{-3} \cdot (0,001)^{-5}$;

4) $\frac{(-27)^{-12} \cdot 9^5}{81^{-4} \cdot 3^{-7}}$;

5) $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$;

6) $\frac{(0,125)^{-8} \cdot 16^{-7}}{32^{-2}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $25^{-3} \cdot 5^8$

Представим число 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Подставим это в исходное выражение: $(5^2)^{-3} \cdot 5^8$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $5^{2 \cdot (-3)} \cdot 5^8 = 5^{-6} \cdot 5^8$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-6+8} = 5^2$.

Вычисляем результат: $5^2 = 25$.

Ответ: 25

2) $64^{-3} : 32^{-3}$

Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем $a^n : b^n = (a : b)^n$:

$64^{-3} : 32^{-3} = (64 : 32)^{-3} = 2^{-3}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

3) $10^{-10} : 1000^{-3} \cdot (0,001)^{-5}$

Представим все числа в виде степеней 10: $1000 = 10^3$, $0,001 = 10^{-3}$.

Подставим в выражение: $10^{-10} : (10^3)^{-3} \cdot (10^{-3})^{-5}$.

Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{-10} : 10^{-9} \cdot 10^{15}$.

Выполним операции по порядку. Сначала деление $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^{-10 - (-9)} \cdot 10^{15} = 10^{-1} \cdot 10^{15}$.

Затем умножение $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-1+15} = 10^{14}$.

Ответ: $10^{14}$

4) $\frac{(-27)^{-12} \cdot 9^5}{81^{-4} \cdot 3^{-7}}$

Так как показатель степени (-12) — четное число, то $(-27)^{-12} = 27^{-12}$.

Представим все основания в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, $81 = 3^4$.

Подставим в выражение: $\frac{(3^3)^{-12} \cdot (3^2)^5}{(3^4)^{-4} \cdot 3^{-7}}$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{3^{-36} \cdot 3^{10}}{3^{-16} \cdot 3^{-7}}$.

Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^{-36+10}}{3^{-16-7}} = \frac{3^{-26}}{3^{-23}}$.

Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{-26 - (-23)} = 3^{-26+23} = 3^{-3}$.

Вычисляем результат: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$

5) $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$

Разложим основания на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Подставим в выражение: $\frac{(3 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2 \cdot 5)^{-3} \cdot 3^9}$.

Раскроем скобки, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $\frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2)^{-3} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9} = \frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{3^{-6} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $\frac{3^4 \cdot 5^{4-6}}{3^{-6+9} \cdot 5^{-3}} = \frac{3^4 \cdot 5^{-2}}{3^3 \cdot 5^{-3}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания:

$3^{4-3} \cdot 5^{-2 - (-3)} = 3^1 \cdot 5^{-2+3} = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

6) $\frac{(0,125)^{-8} \cdot 16^{-7}}{32^{-2}}$

Представим все числа в виде степеней 2: $0,125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$.

Подставим в выражение: $\frac{(2^{-3})^{-8} \cdot (2^4)^{-7}}{(2^5)^{-2}}$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{2^{(-3) \cdot (-8)} \cdot 2^{4 \cdot (-7)}}{2^{5 \cdot (-2)}} = \frac{2^{24} \cdot 2^{-28}}{2^{-10}}$.

Упростим числитель: $\frac{2^{24-28}}{2^{-10}} = \frac{2^{-4}}{2^{-10}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-4 - (-10)} = 2^{-4+10} = 2^6$.

Вычисляем результат: $2^6 = 64$.

Ответ: 64