Номер 880, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 880, страница 221.

Условие.

880. Сократите дробь (n — целое число):

1) $\frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}};$

2) $\frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{14^n};$

3) $\frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{12^n};$

4) $\frac{a^6 + a^{11}}{a^{-4} + a};$

5) $\frac{a^{-3} + a^{-2} + a^{-1}}{a^3 + a^2 + a};$

6) $\frac{6^{n+2} - 6^n}{35};$

7) $\frac{5^{n+2} - 5^{n-2}}{5^n};$

8) $\frac{2^{-n} + 1}{2^n + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)
Чтобы сократить дробь $ \frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}} $, представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Тогда числитель примет вид: $9^{n-1} = (3^2)^{n-1}$.
Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем: $3^{2(n-1)} = 3^{2n-2}$.
Теперь дробь выглядит так: $ \frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.
$ \frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}} = 3^{(2n-2) - (2n-3)} = 3^{2n-2-2n+3} = 3^1 = 3 $.
Ответ: $3$.

2)
Рассмотрим дробь $ \frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{14^n} $.
Представим знаменатель $14^n$ в виде произведения степеней: $14^n = (7 \cdot 2)^n = 7^n \cdot 2^n$.
Подставим это в исходную дробь: $ \frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{7^n \cdot 2^n} $.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n} $.
Применим правило деления степеней:
$ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7^{(n+1)-n} = 7^1 = 7 $.
$ \frac{2^{n-1}}{2^n} = 2^{(n-1)-n} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $.
Перемножим результаты: $ 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

3)
Рассмотрим дробь $ \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{12^n} $.
Представим основание 12 в виде произведения простых множителей: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Тогда знаменатель $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.
Подставим в дробь: $ \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{2^{2n} \cdot 3^n} $.
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$ \frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^{n+1}}{3^n} = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 3^{(n+1)-n} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} $.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

4)
Рассмотрим дробь $ \frac{a^6 + a^{11}}{a^{-4} + a} $.
Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель с наименьшим показателем степени.
В числителе: $a^6 + a^{11} = a^6(1 + a^{11-6}) = a^6(1 + a^5)$.
В знаменателе: $a^{-4} + a^1 = a^{-4}(1 + a^{1-(-4)}) = a^{-4}(1 + a^5)$.
Дробь примет вид: $ \frac{a^6(1 + a^5)}{a^{-4}(1 + a^5)} $.
Сократим общий множитель $(1+a^5)$ (при условии, что $1+a^5 \neq 0$):
$ \frac{a^6}{a^{-4}} = a^{6 - (-4)} = a^{6+4} = a^{10} $.
Ответ: $a^{10}$.

5)
Рассмотрим дробь $ \frac{a^{-3} + a^{-2} + a^{-1}}{a^3 + a^2 + a} $.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем $a^{-3}$: $a^{-3} + a^{-2} + a^{-1} = a^{-3}(1 + a^1 + a^2) = a^{-3}(1 + a + a^2)$.
В знаменателе вынесем $a$: $a^3 + a^2 + a = a(a^2 + a + 1)$.
Подставим в дробь: $ \frac{a^{-3}(1 + a + a^2)}{a(a^2 + a + 1)} $.
Сократим общий множитель $(1 + a + a^2)$ (при условии, что он не равен нулю):
$ \frac{a^{-3}}{a^1} = a^{-3-1} = a^{-4} $.
Ответ: $a^{-4}$.

6)
Рассмотрим дробь $ \frac{6^{n+2} - 6^n}{35} $.
Используем свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и преобразуем числитель:
$6^{n+2} - 6^n = 6^n \cdot 6^2 - 6^n = 6^n(6^2 - 1)$.
Вычислим выражение в скобках: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$.
Тогда числитель равен $6^n \cdot 35$.
Подставим это в дробь: $ \frac{6^n \cdot 35}{35} $.
Сократим на 35, получим $6^n$.
Ответ: $6^n$.

7)
Рассмотрим дробь $ \frac{5^{n+2} - 5^{n-2}}{5^n} $.
Можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$ \frac{5^{n+2}}{5^n} - \frac{5^{n-2}}{5^n} $.
Используем правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $:
$ 5^{(n+2)-n} - 5^{(n-2)-n} = 5^2 - 5^{-2} $.
Вычислим значение выражения:
$ 25 - \frac{1}{5^2} = 25 - \frac{1}{25} = \frac{25 \cdot 25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{625-1}{25} = \frac{624}{25} $.
Ответ: $\frac{624}{25}$.

8)
Рассмотрим дробь $ \frac{2^{-n} + 1}{2^n + 1} $.
Представим $2^{-n}$ как $ \frac{1}{2^n} $.
Тогда числитель примет вид: $ \frac{1}{2^n} + 1 $.
Приведем числитель к общему знаменателю: $ \frac{1}{2^n} + \frac{2^n}{2^n} = \frac{1+2^n}{2^n} $.
Теперь вся дробь выглядит так: $ \frac{\frac{1+2^n}{2^n}}{2^n+1} $.
Это эквивалентно $ \frac{1+2^n}{2^n(2^n+1)} $.
Сократим общий множитель $(1+2^n)$:
$ \frac{1}{2^n} $.
Этот результат можно также записать как $2^{-n}$.
Ответ: $\frac{1}{2^n}$.