Номер 887, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 887, страница 222.

Условие.

887. Постройте график функции:

1) $y = \frac{4x+12}{x^2+3x}$;

2) $y = \frac{32-2x^2}{x^3-16x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $y = \frac{4x + 12}{x^2 + 3x}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю:
$x^2 + 3x \neq 0$
$x(x + 3) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$ и $x \neq -3$.
Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь упростим выражение для функции, разложив числитель и знаменатель на множители:
$y = \frac{4(x + 3)}{x(x + 3)}$

При $x \neq -3$ мы можем сократить дробь на общий множитель $(x + 3)$:
$y = \frac{4}{x}$

Таким образом, график исходной функции представляет собой график функции $y = \frac{4}{x}$ с одной "выколотой" точкой.
Графиком функции $y = \frac{4}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат: вертикальная асимптота $x=0$ и горизонтальная асимптота $y=0$.
Найдем координаты точки разрыва ("выколотой" точки), подставив значение $x = -3$ в упрощенную функцию:
$y(-3) = \frac{4}{-3} = -1\frac{1}{3}$
Следовательно, точка с координатами $(-3; -1\frac{1}{3})$ не принадлежит графику функции.

Для построения графика можно составить таблицу значений для функции $y = \frac{4}{x}$:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	-1	-2	-4	4	2	1

Построим гиперболу по этим точкам и отметим на ней выколотую точку $(-3; -1\frac{1}{3})$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{4}{x}$ с выколотой точкой $(-3; -1\frac{1}{3})$.

2) $y = \frac{32 - 2x^2}{x^3 - 16x}$

Найдем область определения функции. Знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^3 - 16x \neq 0$
$x(x^2 - 16) \neq 0$
$x(x - 4)(x + 4) \neq 0$
Отсюда следует, что $x \neq 0$, $x \neq 4$ и $x \neq -4$.
Область определения: $D(y) = (-\infty; -4) \cup (-4; 0) \cup (0; 4) \cup (4; +\infty)$.

Упростим выражение для функции. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:
Числитель: $32 - 2x^2 = 2(16 - x^2) = -2(x^2 - 16) = -2(x - 4)(x + 4)$.
Знаменатель: $x^3 - 16x = x(x^2 - 16) = x(x - 4)(x + 4)$.
Запишем функцию в новом виде:
$y = \frac{-2(x - 4)(x + 4)}{x(x - 4)(x + 4)}$

При $x \neq 4$ и $x \neq -4$ мы можем сократить дробь:
$y = -\frac{2}{x}$

График исходной функции совпадает с графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ за исключением двух "выколотых" точек.
Графиком функции $y = -\frac{2}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат ($x=0$ и $y=0$).
Найдем координаты точек разрыва:
При $x = 4$: $y(4) = -\frac{2}{4} = -0.5$. Точка $(4; -0.5)$ выколота.
При $x = -4$: $y(-4) = -\frac{2}{-4} = 0.5$. Точка $(-4; 0.5)$ выколота.

Для построения графика можно составить таблицу значений для $y = -\frac{2}{x}$:

$x$	-2	-1	1	2
$y$	1	2	-2	-1

Построим гиперболу по этим точкам и отметим на ней выколотые точки $(4; -0.5)$ и $(-4; 0.5)$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{2}{x}$ с выколотыми точками $(4; -0.5)$ и $(-4; 0.5)$.