Номер 891, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 891, страница 222.

Условие.

891. Найдите значение корня:

1) $\sqrt{9 \cdot 100}$;
2) $\sqrt{0,49 \cdot 16}$;
3) $\sqrt{676 \cdot 0,04}$;
4) $\sqrt{0,64 \cdot 0,25 \cdot 121}$;
5) $\sqrt{\frac{25}{196}}$;
6) $\sqrt{18\frac{1}{16}}$;
7) $\sqrt{\frac{9}{64} \cdot \frac{1024}{1089}}$;
8) $\sqrt{3\frac{13}{36} \cdot 4\frac{29}{49}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для вычисления значения корня из произведения воспользуемся свойством арифметического квадратного корня: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).

$\sqrt{9 \cdot 100} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{100} = 3 \cdot 10 = 30$.

Ответ: 30.

2) Аналогично предыдущему примеру, используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{0,49 \cdot 16} = \sqrt{0,49} \cdot \sqrt{16} = 0,7 \cdot 4 = 2,8$.

Ответ: 2,8.

3) Используем свойство корня из произведения.

$\sqrt{676 \cdot 0,04} = \sqrt{676} \cdot \sqrt{0,04}$.

Так как $26^2 = 676$ и $0,2^2 = 0,04$, то:

$\sqrt{676} \cdot \sqrt{0,04} = 26 \cdot 0,2 = 5,2$.

Ответ: 5,2.

4) Свойство корня из произведения справедливо и для трех множителей: $\sqrt{a \cdot b \cdot c} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c}$.

$\sqrt{0,64 \cdot 0,25 \cdot 121} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{121} = 0,8 \cdot 0,5 \cdot 11 = 0,4 \cdot 11 = 4,4$.

Ответ: 4,4.

5) Для вычисления значения корня из дроби воспользуемся свойством корня из частного: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ (для $a \ge 0, b > 0$).

$\sqrt{\frac{25}{196}} = \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{196}} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $\frac{5}{14}$.

6) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь.

$18\frac{1}{16} = \frac{18 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{288 + 1}{16} = \frac{289}{16}$.

Теперь извлечем корень, используя свойство корня из частного:

$\sqrt{18\frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{289}{16}} = \frac{\sqrt{289}}{\sqrt{16}} = \frac{17}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$.

Ответ: $4\frac{1}{4}$.

7) Используем свойства корня из произведения и корня из частного.

$\sqrt{\frac{9}{64} \cdot \frac{1024}{1089}} = \sqrt{\frac{9}{64}} \cdot \sqrt{\frac{1024}{1089}} = \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{64}} \cdot \frac{\sqrt{1024}}{\sqrt{1089}}$.

Вычисляем значения корней: $\sqrt{9} = 3$, $\sqrt{64} = 8$, $\sqrt{1024} = 32$, $\sqrt{1089} = 33$.

Подставляем значения и вычисляем произведение, сокращая дробь:

$\frac{3}{8} \cdot \frac{32}{33} = \frac{3 \cdot 32}{8 \cdot 33} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}$.

Ответ: $\frac{4}{11}$.

8) Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$.

$4\frac{29}{49} = \frac{4 \cdot 49 + 29}{49} = \frac{196 + 29}{49} = \frac{225}{49}$.

Теперь вычисляем корень из произведения полученных дробей:

$\sqrt{3\frac{13}{36} \cdot 4\frac{29}{49}} = \sqrt{\frac{121}{36} \cdot \frac{225}{49}} = \sqrt{\frac{121}{36}} \cdot \sqrt{\frac{225}{49}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}} \cdot \frac{\sqrt{225}}{\sqrt{49}} = \frac{11}{6} \cdot \frac{15}{7}$.

Перемножаем дроби и сокращаем:

$\frac{11}{6} \cdot \frac{15}{7} = \frac{11 \cdot (3 \cdot 5)}{(2 \cdot 3) \cdot 7} = \frac{11 \cdot 5}{2 \cdot 7} = \frac{55}{14}$.

Преобразуем в смешанное число:

$\frac{55}{14} = 3\frac{13}{14}$.

Ответ: $3\frac{13}{14}$.