Номер 897, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 897, страница 223.

Условие.

897. Упростите выражение:

1) $\sqrt{18 + 8\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}};$

3) $\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} + \sqrt{23 - 8\sqrt{7}};$

4) $\sqrt{26 - 6\sqrt{17}} - \sqrt{66 - 14\sqrt{17}};$

5) $\sqrt{46 + 10\sqrt{21}} + \sqrt{46 - 10\sqrt{21}}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\sqrt{18+8\sqrt{2}}$

Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ используется формула полного квадрата: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Отсюда следует, что $\sqrt{a^2+b^2 \pm 2ab} = \sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b|$.

Представим подкоренное выражение $18+8\sqrt{2}$ в виде $(a+b)^2$. Для этого необходимо, чтобы слагаемое с корнем имело вид $2ab$.

$8\sqrt{2} = 2 \cdot 4\sqrt{2}$. Попробуем взять $a=4$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, равна ли сумма их квадратов $a^2+b^2$ числу 18:

$a^2+b^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$.

Условие выполняется. Таким образом, $18+8\sqrt{2} = 4^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot