Номер 897, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

897. Упростите выражение:

1) $\sqrt{18 + 8\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}};$

3) $\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} + \sqrt{23 - 8\sqrt{7}};$

4) $\sqrt{26 - 6\sqrt{17}} - \sqrt{66 - 14\sqrt{17}};$

5) $\sqrt{46 + 10\sqrt{21}} + \sqrt{46 - 10\sqrt{21}}.$

1) Разложим подкоренное выражение. Нам нужно найти такие числа, чтобы их удвоенное произведение было $8\sqrt{2}$ (или $2 \cdot 4\sqrt{2}$), а сумма квадратов была 18:
$18 + 8\sqrt{2} = 16 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + 2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (4 + \sqrt{2})^2$
$\sqrt{(4 + \sqrt{2})^2} = 4 + \sqrt{2}$
Ответ: $4 + \sqrt{2}$

2) Аналогично ищем квадрат разности. $2ab = 12\sqrt{2} \Rightarrow ab = 6\sqrt{2}$. Если $a=6, b=\sqrt{2}$, то $a^2+b^2 = 36+2=38$:
$38 - 12\sqrt{2} = 36 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + 2 = 6^2 - 2 \cdot 6 \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 = (6 - \sqrt{2})^2$
$\sqrt{(6 - \sqrt{2})^2} = |6 - \sqrt{2}| = 6 - \sqrt{2}$
Ответ: $6 - \sqrt{2}$

3) Работаем с каждым корнем отдельно:
$\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} = \sqrt{9 + 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{7} + 7} = \sqrt{(3 + \sqrt{7})^2} = 3 + \sqrt{7}$
$\sqrt{23 - 8\sqrt{7}} = \sqrt{16 - 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{7} + 7} = \sqrt{(4 - \sqrt{7})^2} = 4 - \sqrt{7}$
Складываем: $(3 + \sqrt{7}) + (4 - \sqrt{7}) = 7$
Ответ: $7$

4) Преобразуем оба выражения:
$\sqrt{26 - 6\sqrt{17}} = \sqrt{17 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{17} + 9} = \sqrt{(\sqrt{17} - 3)^2} = \sqrt{17} - 3$
$\sqrt{66 - 14\sqrt{17}} = \sqrt{49 - 2 \cdot 7 \cdot \sqrt{17} + 17} = \sqrt{(7 - \sqrt{17})^2} = 7 - \sqrt{17}$
Вычитаем: $(\sqrt{17} - 3) - (7 - \sqrt{17}) = \sqrt{17} - 3 - 7 + \sqrt{17} = 2\sqrt{17} - 10$
Ответ: $2\sqrt{17} - 10$

5) Заметим, что $10\sqrt{21} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{21}$. Проверим сумму квадратов: $5^2 + (\sqrt{21})^2 = 25 + 21 = 46$. Подходит!
$\sqrt{(5 + \sqrt{21})^2} + \sqrt{(5 - \sqrt{21})^2} = (5 + \sqrt{21}) + (5 - \sqrt{21}) = 10$
Ответ: $10$