Номер 901, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 901, страница 224.

Условие.

901. Внесите множитель под знак корня:

1) $a\sqrt{5}$;

2) $b\sqrt{-b}$;

3) $x\sqrt{x^7}$;

4) $n\sqrt{m}$, если $n \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Чтобы внести множитель $a$ под знак корня в выражении $a\sqrt{5}$, необходимо рассмотреть два случая, так как знак переменной $a$ не указан.

Случай 1: $a \ge 0$ (множитель неотрицательный).
В этом случае мы можем представить $a$ как $\sqrt{a^2}$. Тогда выражение преобразуется следующим образом:
$a\sqrt{5} = \sqrt{a^2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{a^2 \cdot 5} = \sqrt{5a^2}$.

Случай 2: $a < 0$ (множитель отрицательный).
В этом случае множитель $a$ отрицателен. Мы представляем его как $a = -(-a)$, где $-a > 0$.
$a\sqrt{5} = -(-a)\sqrt{5}$.
Теперь неотрицательный множитель $(-a)$ можно внести под корень: $-a = \sqrt{(-a)^2} = \sqrt{a^2}$.
Следовательно, $a\sqrt{5} = -\sqrt{(-a)^2 \cdot 5} = -\sqrt{a^2 \cdot 5} = -\sqrt{5a^2}$.

Таким образом, результат зависит от знака $a$.

Ответ: $\sqrt{5a^2}$, если $a \ge 0$; $-\sqrt{5a^2}$, если $a < 0$.

2) Рассмотрим выражение $b\sqrt{-b}$.

Для того чтобы выражение имело смысл в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $-b \ge 0$, что означает $b \le 0$.

Таким образом, множитель $b$ является неположительным. Если $b=0$, выражение равно нулю. Если $b < 0$, множитель $b$ отрицателен. Применяем правило для внесения отрицательного множителя под знак корня: оставляем знак «минус» перед корнем, а под корень вносим квадрат модуля множителя. $b\sqrt{-b} = -\sqrt{b^2 \cdot (-b)} = -\sqrt{-b^3}$.

Эта формула верна для всех $b \le 0$, так как при $b=0$ обе части равенства равны нулю.

Ответ: $-\sqrt{-b^3}$.

3) Рассмотрим выражение $x\sqrt{x^7}$.

Подкоренное выражение $x^7$ должно быть неотрицательным, то есть $x^7 \ge 0$. Это условие выполняется при $x \ge 0$.

Поскольку множитель $x$ является неотрицательным, мы можем внести его под знак корня, возведя в квадрат: $x\sqrt{x^7} = \sqrt{x^2 \cdot x^7}$.

Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим выражение под корнем: $\sqrt{x^2 \cdot x^7} = \sqrt{x^{2+7}} = \sqrt{x^9}$.

Ответ: $\sqrt{x^9}$.

4) Рассмотрим выражение $n\sqrt{m}$ при условии, что $n \le 0$.

Для существования корня также необходимо, чтобы $m \ge 0$. В условии задачи дано, что множитель $n$ является неположительным ($n \le 0$).

Если $n=0$, выражение равно $0\sqrt{m} = 0$. Если $n < 0$, множитель $n$ отрицателен. Для внесения отрицательного множителя под корень, мы оставляем знак «минус» перед корнем, а под корень вносим квадрат модуля множителя: $n\sqrt{m} = -|n|\sqrt{m} = -\sqrt{|n|^2 \cdot m}$.

Так как $|n|^2 = n^2$, получаем: $n\sqrt{m} = -\sqrt{n^2 \cdot m} = -\sqrt{n^2m}$. Эта формула верна и для случая $n=0$, так как $-\sqrt{0^2 \cdot m} = -\sqrt{0} = 0$.

Ответ: $-\sqrt{n^2m}$.