Номер 908, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 908, страница 225.

Условие.

908. Найдите значение выражения

1) $\frac{5}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{5}{4 + 3\sqrt{2}}$

2) $\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1} - \frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}$

3) $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{5}{4 - 3\sqrt{2}} - \frac{5}{4 + 3\sqrt{2}}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей $(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2})$. Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, получаем: $(4 - 3\sqrt{2})(4 + 3\sqrt{2}) = 4^2 - (3\sqrt{2})^2 = 16 - (9 \cdot 2) = 16 - 18 = -2$.

Теперь выполним вычитание дробей:

$\frac{5(4 + 3\sqrt{2}) - 5(4 - 3\sqrt{2})}{-2} = \frac{20 + 15\sqrt{2} - 20 + 15\sqrt{2}}{-2} = \frac{30\sqrt{2}}{-2} = -15\sqrt{2}$.

Ответ: $-15\sqrt{2}$.

2) Для вычисления выражения $\frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1} - \frac{1}{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}$ приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель равен произведению знаменателей, которое можно вычислить по формуле разности квадратов:

$(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1)(\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1) = (\sqrt{4 + \sqrt{15}})^2 - 1^2 = (4 + \sqrt{15}) - 1 = 3 + \sqrt{15}$.

Теперь преобразуем все выражение, выполнив вычитание в числителе:

$\frac{1(\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1) - 1(\sqrt{4 + \sqrt{15}} + 1)}{3 + \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1 - \sqrt{4 + \sqrt{15}} - 1}{3 + \sqrt{15}} = \frac{-2}{3 + \sqrt{15}}$.

Избавимся от иррациональности в знаменателе, домножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(3 - \sqrt{15})$:

$\frac{-2(3 - \sqrt{15})}{(3 + \sqrt{15})(3 - \sqrt{15})} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{3^2 - (\sqrt{15})^2} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{9 - 15} = \frac{-2(3 - \sqrt{15})}{-6}$.

Сократив дробь на -2, получаем: $\frac{3 - \sqrt{15}}{3}$, что равно $1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{15}}{3}$.

3) Чтобы найти значение выражения $(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} + \sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2$, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Пусть $a = \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ и $b = \sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$.

Тогда $a^2 = (\sqrt{5 - 2\sqrt{6}})^2 = 5 - 2\sqrt{6}$ и $b^2 = (\sqrt{5 + 2\sqrt{6}})^2 = 5 + 2\sqrt{6}$.

Найдем удвоенное произведение $2ab$: $2ab = 2 \sqrt{(5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})}$. Используя формулу разности квадратов под корнем, получаем: $2ab = 2 \sqrt{5^2 - (2\sqrt{6})^2} = 2 \sqrt{25 - (4 \cdot 6)} = 2 \sqrt{25 - 24} = 2 \sqrt{1} = 2$.

Теперь сложим все части: $a^2 + 2ab + b^2 = (5 - 2\sqrt{6}) + 2 + (5 + 2\sqrt{6})$.

Сгруппируем и упростим: $5 + 5 + 2 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{6} = 12$.

Ответ: $12$.