Номер 904, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 904, страница 224.

Условие.

904. Выполните умножение:

1) $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5};$

2) $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6};$

3) $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10});$

4) $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5});$

5) $(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13});$

6) $(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n});$

7) $(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2;$

8) $(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Для решения выражения $(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5}$ раскроем скобки, умножив $\sqrt{5}$ на каждый член в скобках. Используем свойство $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$.

$(\sqrt{80} - \sqrt{45})\sqrt{5} = \sqrt{80} \cdot \sqrt{5} - \sqrt{45} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{80 \cdot 5} - \sqrt{45 \cdot 5} = \sqrt{400} - \sqrt{225}$.

Теперь извлечем квадратные корни:

$20 - 15 = 5$.

Ответ: $5$

2) Для решения выражения $(2\sqrt{6} + \sqrt{54} - \sqrt{96})\sqrt{6}$ сначала упростим корни в скобках, вынеся множитель из-под знака корня.

$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}$

$\sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$(2\sqrt{6} + 3\sqrt{6} - 4\sqrt{6})\sqrt{6}$

Приведем подобные слагаемые в скобках:

$((2+3-4)\sqrt{6})\sqrt{6} = (1\sqrt{6})\sqrt{6} = \sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$.

Ответ: $6$

3) Раскроем скобки в выражении $(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10})$, умножив каждый член первой скобки на каждый член второй скобки.

$(12 - \sqrt{10})(3 + \sqrt{10}) = 12 \cdot 3 + 12 \cdot \sqrt{10} - \sqrt{10} \cdot 3 - \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 36 + 12\sqrt{10} - 3\sqrt{10} - 10$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(36 - 10) + (12\sqrt{10} - 3\sqrt{10}) = 26 + 9\sqrt{10}$.

Ответ: $26 + 9\sqrt{10}$

4) Раскроем скобки в выражении $(2\sqrt{5} + \sqrt{7})(2\sqrt{7} - \sqrt{5})$ по правилу умножения многочленов.

$(2\sqrt{5})(2\sqrt{7}) + (2\sqrt{5})(-\sqrt{5}) + (\sqrt{7})(2\sqrt{7}) + (\sqrt{7})(-\sqrt{5})$.

Выполним умножение:

$4\sqrt{35} - 2(\sqrt{5})^2 + 2(\sqrt{7})^2 - \sqrt{35} = 4\sqrt{35} - 2 \cdot 5 + 2 \cdot 7 - \sqrt{35} = 4\sqrt{35} - 10 + 14 - \sqrt{35}$.

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(14 - 10) + (4\sqrt{35} - \sqrt{35}) = 4 + 3\sqrt{35}$.

Ответ: $4 + 3\sqrt{35}$

5) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt{19}$ и $b = \sqrt{13}$.

$(\sqrt{19} - \sqrt{13})(\sqrt{19} + \sqrt{13}) = (\sqrt{19})^2 - (\sqrt{13})^2 = 19 - 13 = 6$.

Ответ: $6$

6) Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a = 4\sqrt{m}$ и $b = 9\sqrt{n}$.

$(4\sqrt{m} + 9\sqrt{n})(4\sqrt{m} - 9\sqrt{n}) = (4\sqrt{m})^2 - (9\sqrt{n})^2 = 4^2(\sqrt{m})^2 - 9^2(\sqrt{n})^2 = 16m - 81n$.

Ответ: $16m - 81n$

7) Воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат суммы": $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = \sqrt{5x}$ и $b = \sqrt{11y}$.

$(\sqrt{5x} + \sqrt{11y})^2 = (\sqrt{5x})^2 + 2 \cdot \sqrt{5x} \cdot \sqrt{11y} + (\sqrt{11y})^2 = 5x + 2\sqrt{5x \cdot 11y} + 11y = 5x + 2\sqrt{55xy} + 11y$.

Ответ: $5x + 11y + 2\sqrt{55xy}$

8) Применим формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 3\sqrt{11}$ и $b = 2\sqrt{10}$.

$(3\sqrt{11} - 2\sqrt{10})^2 = (3\sqrt{11})^2 - 2 \cdot (3\sqrt{11}) \cdot (2\sqrt{10}) + (2\sqrt{10})^2 = 3^2(\sqrt{11})^2 - 12\sqrt{11 \cdot 10} + 2^2(\sqrt{10})^2$.

Упростим выражение:

$9 \cdot 11 - 12\sqrt{110} + 4 \cdot 10 = 99 - 12\sqrt{110} + 40$.

Сложим числовые члены:

$99 + 40 - 12\sqrt{110} = 139 - 12\sqrt{110}$.

Ответ: $139 - 12\sqrt{110}$