Номер 899, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 899, страница 224.

Условие.

899. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{10a^2}$, если $a \ge 0;$

2) $\sqrt{15b^2}$, если $b \le 0;$

3) $\sqrt{x^{11}y^{12}}$, если $y \ne 0;$

4) $\sqrt{36m^2n}$, если $m < 0;$

5) $\sqrt{4x^6y^5}$, если $x > 0;$

6) $\sqrt{700a^5b^{22}}$, если $b < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Для вынесения множителя из-под знака корня воспользуемся свойством $\sqrt{x^2} = |x|$.

Выражение $\sqrt{10a^2}$ можно переписать как $\sqrt{10} \cdot \sqrt{a^2}$.

Применяя свойство, получаем $\sqrt{a^2} = |a|$.

По условию задачи $a \ge 0$, следовательно, $|a| = a$.

Таким образом, $\sqrt{10a^2} = |a|\sqrt{10} = a\sqrt{10}$.

Ответ: $a\sqrt{10}$

2) Аналогично предыдущему пункту, преобразуем выражение $\sqrt{15b^2}$.

$\sqrt{15b^2} = \sqrt{15} \cdot \sqrt{b^2} = \sqrt{15} \cdot |b|$.

По условию задачи $b \le 0$, следовательно, $|b| = -b$.

Подставляем это в выражение: $\sqrt{15} \cdot (-b) = -b\sqrt{15}$.

Ответ: $-b\sqrt{15}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{x^{11}y^{12}}$. Чтобы корень был определен, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x^{11}y^{12} \ge 0$. Поскольку $y^{12} = (y^6)^2 \ge 0$ (и по условию $y \ne 0$, значит $y^{12} > 0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^{11} \ge 0$, что означает $x \ge 0$.

Представим множители с четными степенями:

$\sqrt{x^{11}y^{12}} = \sqrt{x^{10} \cdot x \cdot y^{12}} = \sqrt{x^{10}} \cdot \sqrt{y^{12}} \cdot \sqrt{x}$.

Теперь вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{x^{10}} = \sqrt{(x^5)^2} = |x^5|$. Так как $x \ge 0$, то $x^5 \ge 0$, и $|x^5| = x^5$.

$\sqrt{y^{12}} = \sqrt{(y^6)^2} = |y^6|$. Так как $y^6$ всегда неотрицательно, то $|y^6| = y^6$.

Собираем все вместе: $x^5 \cdot y^6 \cdot \sqrt{x} = x^5y^6\sqrt{x}$.

Ответ: $x^5y^6\sqrt{x}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{36m^2n}$. Для его определения необходимо, чтобы $36m^2n \ge 0$. Так как $36 > 0$ и $m^2 \ge 0$, то должно выполняться условие $n \ge 0$.

Преобразуем выражение: $\sqrt{36m^2n} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{m^2} \cdot \sqrt{n} = 6 \cdot |m| \cdot \sqrt{n}$.

По условию задачи $m < 0$, следовательно, $|m| = -m$.

Подставляем в полученное выражение: $6 \cdot (-m) \cdot \sqrt{n} = -6m\sqrt{n}$.

Ответ: $-6m\sqrt{n}$

5) Рассмотрим выражение $\sqrt{4x^6y^5}$. Для его определения $4x^6y^5 \ge 0$. Так как $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$, то необходимо $y^5 \ge 0$, что означает $y \ge 0$.

Представим множители с четными степенями:

$\sqrt{4x^6y^5} = \sqrt{4 \cdot x^6 \cdot y^4 \cdot y} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{x^6} \cdot \sqrt{y^4} \cdot \sqrt{y}$.

Вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{4} = 2$.

$\sqrt{x^6} = \sqrt{(x^3)^2} = |x^3|$. По условию $x > 0$, значит $x^3 > 0$, и $|x^3| = x^3$.

$\sqrt{y^4} = \sqrt{(y^2)^2} = |y^2|$. Так как $y^2$ всегда неотрицательно, то $|y^2| = y^2$.

Собираем все вместе: $2 \cdot x^3 \cdot y^2 \cdot \sqrt{y} = 2x^3y^2\sqrt{y}$.

Ответ: $2x^3y^2\sqrt{y}$

6) Рассмотрим выражение $\sqrt{700a^5b^{22}}$. Для его определения $700a^5b^{22} \ge 0$. Так как $700 > 0$ и $b^{22} \ge 0$, то необходимо $a^5 \ge 0$, что означает $a \ge 0$.

Представим множители с четными степенями и выделим полный квадрат из числа 700:

$\sqrt{700a^5b^{22}} = \sqrt{100 \cdot 7 \cdot a^4 \cdot a \cdot b^{22}} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^{22}} \cdot \sqrt{7a}$.

Вынесем множители из-под корня:

$\sqrt{100} = 10$.

$\sqrt{a^4} = \sqrt{(a^2)^2} = |a^2| = a^2$.

$\sqrt{b^{22}} = \sqrt{(b^{11})^2} = |b^{11}|$. По условию $b < 0$, значит $b^{11}$ (нечетная степень) будет отрицательным числом, $b^{11} < 0$. Следовательно, $|b^{11}| = -b^{11}$.

Собираем все вместе: $10 \cdot a^2 \cdot (-b^{11}) \cdot \sqrt{7a} = -10a^2b^{11}\sqrt{7a}$.

Ответ: $-10a^2b^{11}\sqrt{7a}$