Номер 895, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 895, страница 223.

Условие.

895. Упростите выражение:

1) $\sqrt{q^2}$, если $q > 0$;

2) $\sqrt{t^2}$, если $t \le 0$;

3) $\sqrt{49m^2n^8}$, если $m \ge 0$;

4) $\sqrt{0.81a^6b^{10}}$, если $a \ge 0$, $b \le 0$;

5) $\frac{1}{5}x\sqrt{100x^{26}}$, если $x \le 0$;

6) $\frac{\sqrt{a^6b^{20}c^{34}}}{ab^8c^{12}}$, если $a > 0$, $c < 0$;

7) $\frac{1.2x^3}{y^5}\sqrt{\frac{y^{14}}{x^{10}}}$, если $y > 0$, $x < 0$;

8) $-0.1x^2\sqrt{1.96x^{18}y^{16}}$, если $x \le 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Используем основное свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{q^2} = |q|$. Так как по условию $q > 0$, модуль раскрывается со знаком плюс: $|q| = q$.
Ответ: $q$

2) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Получаем $\sqrt{t^2} = |t|$. По условию $t \le 0$, следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $|t| = -t$.
Ответ: $-t$

3) Представим подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $49m^2n^8 = (7mn^4)^2$. Тогда $\sqrt{49m^2n^8} = \sqrt{(7mn^4)^2} = |7mn^4|$. Раскроем модуль: $|7mn^4| = |7| \cdot |m| \cdot |n^4|$. По условию $m \ge 0$, поэтому $|m|=m$. Выражение $n^4$ всегда неотрицательно ($n^4 \ge 0$), поэтому $|n^4|=n^4$. В итоге получаем $7mn^4$.
Ответ: $7mn^4$

4) Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $0,81a^6b^{10} = (0,9a^3b^5)^2$. Тогда $\sqrt{0,81a^6b^{10}} = \sqrt{(0,9a^3b^5)^2} = |0,9a^3b^5|$. Раскроем модуль произведения: $|0,9| \cdot |a^3| \cdot |b^5|$. По условию $a \ge 0$, значит $a^3 \ge 0$ и $|a^3| = a^3$. По условию $b \le 0$, значит $b^5 \le 0$ и $|b^5| = -b^5$. Собирая все вместе, получаем $0,9 \cdot a^3 \cdot (-b^5) = -0,9a^3b^5$.
Ответ: $-0,9a^3b^5$

5) Сначала упростим корень: $\sqrt{100x^{26}} = \sqrt{(10x^{13})^2} = |10x^{13}| = 10|x^{13}|$. По условию $x \le 0$, нечетная степень $x^{13}$ также будет неположительной ($x^{13} \le 0$), поэтому $|x^{13}| = -x^{13}$. Значит, $\sqrt{100x^{26}} = 10(-x^{13}) = -10x^{13}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{5}x \cdot (-10x^{13}) = -2x \cdot x^{13} = -2x^{1+13} = -2x^{14}$.
Ответ: $-2x^{14}$

6) Упростим выражение в числителе: $\sqrt{a^6b^{20}c^{34}} = \sqrt{(a^3b^{10}c^{17})^2} = |a^3b^{10}c^{17}| = |a^3| \cdot |b^{10}| \cdot |c^{17}|$. Раскроем модули с учетом условий. Так как $a > 0$, то $a^3 > 0$ и $|a^3| = a^3$. Выражение $b^{10}$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^{10}| = b^{10}$. Так как $c < 0$, то $c^{17} < 0$ и $|c^{17}| = -c^{17}$. Числитель равен $a^3b^{10}(-c^{17}) = -a^3b^{10}c^{17}$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{-a^3b^{10}c^{17}}{ab^8c^{12}} = -a^{3-1}b^{10-8}c^{17-12} = -a^2b^2c^5$.
Ответ: $-a^2b^2c^5$

7) Упростим корень: $\sqrt{\frac{y^{14}}{x^{10}}} = \sqrt{\left(\frac{y^7}{x^5}\right)^2} = \left|\frac{y^7}{x^5}\right| = \frac{|y^7|}{|x^5|}$. По условию $y > 0$, поэтому $y^7 > 0$ и $|y^7| = y^7$. По условию $x < 0$, поэтому $x^5 < 0$ и $|x^5| = -x^5$. Значит, корень равен $\frac{y^7}{-x^5}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{1,2x^3}{y^5} \cdot \left( -\frac{y^7}{x^5} \right) = -1,2\frac{x^3y^7}{y^5x^5} = -1,2x^{3-5}y^{7-5} = -1,2x^{-2}y^2 = -\frac{1,2y^2}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{1,2y^2}{x^2}$

8) Упростим корень: $\sqrt{1,96x^{18}y^{16}} = \sqrt{(1,4x^9y^8)^2} = |1,4x^9y^8| = 1,4|x^9||y^8|$. По условию $x \le 0$, нечетная степень $x^9$ будет неположительной ($x^9 \le 0$), поэтому $|x^9| = -x^9$. Четная степень $y^8$ всегда неотрицательна, поэтому $|y^8| = y^8$. Таким образом, корень равен $1,4(-x^9)y^8 = -1,4x^9y^8$. Подставим в исходное выражение: $-0,1x^2 \cdot (-1,4x^9y^8) = 0,14x^{2+9}y^8 = 0,14x^{11}y^8$.
Ответ: $0,14x^{11}y^8$