Страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

894. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{(17,1)^2}$;

2) $\sqrt{(-1,17)^2}$;

3) $\frac{1}{2}\sqrt{(62)^2}$;

4) $-2,4\sqrt{(-4)^2}$;

5) $\sqrt{11^4}$;

6) $\sqrt{(-23)^4}$;

7) $\sqrt{2^6 \cdot 7^4}$;

8) $\sqrt{(-3)^4 \cdot 2^6 \cdot (-0,1)^2}$.

1) Для вычисления выражения $\sqrt{(17,1)^2}$ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня, согласно которому $\sqrt{a^2} = |a|$ для любого числа $a$. В данном случае $a = 17,1$.
$\sqrt{(17,1)^2} = |17,1|$.
Поскольку 17,1 — положительное число, его модуль равен самому числу.
$|17,1| = 17,1$.
Ответ: 17,1

2) Для вычисления выражения $\sqrt{(-1,17)^2}$ применим то же свойство: $\sqrt{a^2} = |a|$. Здесь $a = -1,17$.
$\sqrt{(-1,17)^2} = |-1,17|$.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу.
$|-1,17| = 1,17$.
Ответ: 1,17

3) В выражении $\frac{1}{2}\sqrt{(62)^2}$ сначала вычислим значение квадратного корня.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(62)^2} = |62| = 62$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \cdot 62 = 31$.
Ответ: 31

4) В выражении $-2,4\sqrt{(-4)^2}$ сначала вычислим значение квадратного корня.
Используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, получаем:
$\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4$.
Теперь умножим полученный результат на коэффициент $-2,4$:
$-2,4 \cdot 4 = -9,6$.
Ответ: -9,6

5) Для вычисления выражения $\sqrt{11^4}$ воспользуемся свойством степеней $a^{mn} = (a^m)^n$. Представим $11^4$ как $(11^2)^2$.
$\sqrt{11^4} = \sqrt{(11^2)^2}$.
Теперь применим свойство $\sqrt{a^2} = |a|$, где $a = 11^2$.
$\sqrt{(11^2)^2} = |11^2| = 11^2 = 121$.
Ответ: 121

6) Для вычисления выражения $\sqrt{(-23)^4}$ учтем, что четная степень отрицательного числа является положительным числом: $(-23)^4 = 23^4$.
$\sqrt{(-23)^4} = \sqrt{23^4}$.
Далее, как и в предыдущем примере, представим $23^4$ как $(23^2)^2$.
$\sqrt{23^4} = \sqrt{(23^2)^2} = |23^2| = 23^2 = 529$.
Ответ: 529

7) В выражении $\sqrt{2^6 \cdot 7^4}$ воспользуемся свойством корня из произведения: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ (для $a \ge 0, b \ge 0$).
$\sqrt{2^6 \cdot 7^4} = \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{7^4}$.
Теперь вычислим каждый корень отдельно, представляя подкоренные выражения в виде квадратов:
$\sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = |2^3| = 2^3 = 8$.
$\sqrt{7^4} = \sqrt{(7^2)^2} = |7^2| = 7^2 = 49$.
Найдем произведение результатов:
$8 \cdot 49 = 392$.
Ответ: 392

8) В выражении $\sqrt{(-3)^4 \cdot 2^6 \cdot (-0,1)^2}$ сначала упростим множители с отрицательными основаниями. Так как степени четные, $(-3)^4 = 3^4$ и $(-0,1)^2 = (0,1)^2$.
Выражение принимает вид: $\sqrt{3^4 \cdot 2^6 \cdot (0,1)^2}$.
Используем свойство корня из произведения:
$\sqrt{3^4 \cdot 2^6 \cdot (0,1)^2} = \sqrt{3^4} \cdot \sqrt{2^6} \cdot \sqrt{(0,1)^2}$.
Вычислим каждый множитель:
$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$.
$\sqrt{2^6} = \sqrt{(2^3)^2} = 2^3 = 8$.
$\sqrt{(0,1)^2} = |0,1| = 0,1$.
Перемножим полученные значения:
$9 \cdot 8 \cdot 0,1 = 72 \cdot 0,1 = 7,2$.
Ответ: 7,2

895. Упростите выражение:

1) $\sqrt{q^2}$, если $q > 0$;

2) $\sqrt{t^2}$, если $t \le 0$;

3) $\sqrt{49m^2n^8}$, если $m \ge 0$;

4) $\sqrt{0.81a^6b^{10}}$, если $a \ge 0$, $b \le 0$;

5) $\frac{1}{5}x\sqrt{100x^{26}}$, если $x \le 0$;

6) $\frac{\sqrt{a^6b^{20}c^{34}}}{ab^8c^{12}}$, если $a > 0$, $c < 0$;

7) $\frac{1.2x^3}{y^5}\sqrt{\frac{y^{14}}{x^{10}}}$, если $y > 0$, $x < 0$;

8) $-0.1x^2\sqrt{1.96x^{18}y^{16}}$, если $x \le 0$.

1) Используем основное свойство квадратного корня $\sqrt{a^2} = |a|$. Таким образом, $\sqrt{q^2} = |q|$. Так как по условию $q > 0$, модуль раскрывается со знаком плюс: $|q| = q$.
Ответ: $q$

2) Используем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$. Получаем $\sqrt{t^2} = |t|$. По условию $t \le 0$, следовательно, модуль раскрывается со знаком минус: $|t| = -t$.
Ответ: $-t$

3) Представим подкоренное выражение как квадрат другого выражения: $49m^2n^8 = (7mn^4)^2$. Тогда $\sqrt{49m^2n^8} = \sqrt{(7mn^4)^2} = |7mn^4|$. Раскроем модуль: $|7mn^4| = |7| \cdot |m| \cdot |n^4|$. По условию $m \ge 0$, поэтому $|m|=m$. Выражение $n^4$ всегда неотрицательно ($n^4 \ge 0$), поэтому $|n^4|=n^4$. В итоге получаем $7mn^4$.
Ответ: $7mn^4$

4) Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $0,81a^6b^{10} = (0,9a^3b^5)^2$. Тогда $\sqrt{0,81a^6b^{10}} = \sqrt{(0,9a^3b^5)^2} = |0,9a^3b^5|$. Раскроем модуль произведения: $|0,9| \cdot |a^3| \cdot |b^5|$. По условию $a \ge 0$, значит $a^3 \ge 0$ и $|a^3| = a^3$. По условию $b \le 0$, значит $b^5 \le 0$ и $|b^5| = -b^5$. Собирая все вместе, получаем $0,9 \cdot a^3 \cdot (-b^5) = -0,9a^3b^5$.
Ответ: $-0,9a^3b^5$

5) Сначала упростим корень: $\sqrt{100x^{26}} = \sqrt{(10x^{13})^2} = |10x^{13}| = 10|x^{13}|$. По условию $x \le 0$, нечетная степень $x^{13}$ также будет неположительной ($x^{13} \le 0$), поэтому $|x^{13}| = -x^{13}$. Значит, $\sqrt{100x^{26}} = 10(-x^{13}) = -10x^{13}$. Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{1}{5}x \cdot (-10x^{13}) = -2x \cdot x^{13} = -2x^{1+13} = -2x^{14}$.
Ответ: $-2x^{14}$

6) Упростим выражение в числителе: $\sqrt{a^6b^{20}c^{34}} = \sqrt{(a^3b^{10}c^{17})^2} = |a^3b^{10}c^{17}| = |a^3| \cdot |b^{10}| \cdot |c^{17}|$. Раскроем модули с учетом условий. Так как $a > 0$, то $a^3 > 0$ и $|a^3| = a^3$. Выражение $b^{10}$ всегда неотрицательно, поэтому $|b^{10}| = b^{10}$. Так как $c < 0$, то $c^{17} < 0$ и $|c^{17}| = -c^{17}$. Числитель равен $a^3b^{10}(-c^{17}) = -a^3b^{10}c^{17}$. Теперь разделим полученное выражение на знаменатель: $\frac{-a^3b^{10}c^{17}}{ab^8c^{12}} = -a^{3-1}b^{10-8}c^{17-12} = -a^2b^2c^5$.
Ответ: $-a^2b^2c^5$

7) Упростим корень: $\sqrt{\frac{y^{14}}{x^{10}}} = \sqrt{\left(\frac{y^7}{x^5}\right)^2} = \left|\frac{y^7}{x^5}\right| = \frac{|y^7|}{|x^5|}$. По условию $y > 0$, поэтому $y^7 > 0$ и $|y^7| = y^7$. По условию $x < 0$, поэтому $x^5 < 0$ и $|x^5| = -x^5$. Значит, корень равен $\frac{y^7}{-x^5}$. Подставим это в исходное выражение: $\frac{1,2x^3}{y^5} \cdot \left( -\frac{y^7}{x^5} \right) = -1,2\frac{x^3y^7}{y^5x^5} = -1,2x^{3-5}y^{7-5} = -1,2x^{-2}y^2 = -\frac{1,2y^2}{x^2}$.
Ответ: $-\frac{1,2y^2}{x^2}$

8) Упростим корень: $\sqrt{1,96x^{18}y^{16}} = \sqrt{(1,4x^9y^8)^2} = |1,4x^9y^8| = 1,4|x^9||y^8|$. По условию $x \le 0$, нечетная степень $x^9$ будет неположительной ($x^9 \le 0$), поэтому $|x^9| = -x^9$. Четная степень $y^8$ всегда неотрицательна, поэтому $|y^8| = y^8$. Таким образом, корень равен $1,4(-x^9)y^8 = -1,4x^9y^8$. Подставим в исходное выражение: $-0,1x^2 \cdot (-1,4x^9y^8) = 0,14x^{2+9}y^8 = 0,14x^{11}y^8$.
Ответ: $0,14x^{11}y^8$

896. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2}$;

4) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{6})^2}$;

5) $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2}$.

Для решения всех задач используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – модуль числа $a$. Напомним, что модуль раскрывается по правилу:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$
• $|a| = -a$, если $a < 0$

1) $\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2} = |10 - \sqrt{11}|$

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $10 - \sqrt{11}$. Для этого сравним числа $10$ и $\sqrt{11}$.

Возведем оба числа в квадрат: $10^2 = 100$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Поскольку $100 > 11$, то и $10 > \sqrt{11}$. Значит, разность $10 - \sqrt{11}$ положительна.

Следовательно, $|10 - \sqrt{11}| = 10 - \sqrt{11}$.

Ответ: $10 - \sqrt{11}$

2) $\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2} = |\sqrt{10} - 11|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - 11$. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $11$.

Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $11^2 = 121$.

Поскольку $10 < 121$, то и $\sqrt{10} < 11$. Значит, разность $\sqrt{10} - 11$ отрицательна.

Следовательно, $|\sqrt{10} - 11| = -(\sqrt{10} - 11) = 11 - \sqrt{10}$.

Ответ: $11 - \sqrt{10}$

3) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{11}|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - \sqrt{11}$. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $\sqrt{11}$.

Поскольку подкоренные выражения $10 < 11$, то и $\sqrt{10} < \sqrt{11}$. Значит, разность $\sqrt{10} - \sqrt{11}$ отрицательна.

Следовательно, $|\sqrt{10} - \sqrt{11}| = -(\sqrt{10} - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{10}$

4) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{6})^2}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Сравним $3$ и $\sqrt{6}$: $3^2=9$, $(\sqrt{6})^2=6$. Так как $9 > 6$, то $3 > \sqrt{6}$. Выражение $3 - \sqrt{6}$ положительно, поэтому $|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(2 - \sqrt{6})^2} = |2 - \sqrt{6}|$.

Сравним $2$ и $\sqrt{6}$: $2^2=4$, $(\sqrt{6})^2=6$. Так как $4 < 6$, то $2 < \sqrt{6}$. Выражение $2 - \sqrt{6}$ отрицательно, поэтому $|2 - \sqrt{6}| = -(2 - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - 2$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(3 - \sqrt{6}) + (\sqrt{6} - 2) = 3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - 2 = 1$.

Ответ: $1$

5) $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2}$

Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Уменьшаемое: $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} = |\sqrt{24} - 5|$.

Сравним $\sqrt{24}$ и $5$: $(\sqrt{24})^2=24$, $5^2=25$. Так как $24 < 25$, то $\sqrt{24} < 5$. Выражение $\sqrt{24} - 5$ отрицательно, поэтому $|\sqrt{24} - 5| = -(\sqrt{24} - 5) = 5 - \sqrt{24}$.

Вычитаемое: $\sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2} = |\sqrt{24} - 4|$.

Сравним $\sqrt{24}$ и $4$: $(\sqrt{24})^2=24$, $4^2=16$. Так как $24 > 16$, то $\sqrt{24} > 4$. Выражение $\sqrt{24} - 4$ положительно, поэтому $|\sqrt{24} - 4| = \sqrt{24} - 4$.

Теперь выполним вычитание:

$(5 - \sqrt{24}) - (\sqrt{24} - 4) = 5 - \sqrt{24} - \sqrt{24} + 4 = 9 - 2\sqrt{24}$.

Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

Подставим обратно в выражение: $9 - 2(2\sqrt{6}) = 9 - 4\sqrt{6}$.

Ответ: $9 - 4\sqrt{6}$

897. Упростите выражение:

1) $\sqrt{18 + 8\sqrt{2}};$

2) $\sqrt{38 - 12\sqrt{2}};$

3) $\sqrt{16 + 6\sqrt{7}} + \sqrt{23 - 8\sqrt{7}};$

4) $\sqrt{26 - 6\sqrt{17}} - \sqrt{66 - 14\sqrt{17}};$

5) $\sqrt{46 + 10\sqrt{21}} + \sqrt{46 - 10\sqrt{21}}.$

1) $\sqrt{18+8\sqrt{2}}$

Для упрощения выражений вида $\sqrt{A \pm \sqrt{B}}$ используется формула полного квадрата: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$. Отсюда следует, что $\sqrt{a^2+b^2 \pm 2ab} = \sqrt{(a \pm b)^2} = |a \pm b|$.

Представим подкоренное выражение $18+8\sqrt{2}$ в виде $(a+b)^2$. Для этого необходимо, чтобы слагаемое с корнем имело вид $2ab$.

$8\sqrt{2} = 2 \cdot 4\sqrt{2}$. Попробуем взять $a=4$ и $b=\sqrt{2}$.

Проверим, равна ли сумма их квадратов $a^2+b^2$ числу 18:

$a^2+b^2 = 4^2 + (\sqrt{2})^2 = 16 + 2 = 18$.

Условие выполняется. Таким образом, $18+8\sqrt{2} = 4^2 + (\sqrt{2})^2 + 2 \cdot

898. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{24}$;

2) $\sqrt{63}$;

3) $\sqrt{700}$;

4) $\sqrt{0,32}$;

5) $\frac{1}{7}\sqrt{196}$;

6) $-2,4\sqrt{600}$;

7) $-1,6\sqrt{50}$;

8) $\frac{5}{8}\sqrt{3\frac{21}{25}}$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{24}$, нужно разложить подкоренное число на множители так, чтобы один из них был точным квадратом. Число $24$ можно представить как произведение $4$ и $6$, где $4$ является квадратом числа $2$.
$\sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6}$
Используя свойство корня $\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$, получаем:
$\sqrt{4 \times 6} = \sqrt{4} \times \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$
Ответ: $2\sqrt{6}$.

2) Разложим подкоренное число $63$ на множители, один из которых является полным квадратом: $63 = 9 \times 7$. Число $9$ является квадратом числа $3$.
$\sqrt{63} = \sqrt{9 \times 7} = \sqrt{9} \times \sqrt{7} = 3\sqrt{7}$
Ответ: $3\sqrt{7}$.

3) Разложим подкоренное число $700$ на множители. $700 = 100 \times 7$. Число $100$ является квадратом числа $10$.
$\sqrt{700} = \sqrt{100 \times 7} = \sqrt{100} \times \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$
Ответ: $10\sqrt{7}$.

4) Представим подкоренное десятичное число $0,32$ в виде произведения, где один из множителей является точным квадратом. $0,32 = 0,16 \times 2$. Число $0,16$ является квадратом числа $0,4$.
$\sqrt{0,32} = \sqrt{0,16 \times 2} = \sqrt{0,16} \times \sqrt{2} = 0,4\sqrt{2}$
Ответ: $0,4\sqrt{2}$.

5) Сначала вычислим значение корня. Число $196$ является точным квадратом, так как $14^2 = 196$. Следовательно, $\sqrt{196} = 14$.
Теперь умножим полученное значение на коэффициент $\frac{1}{7}$:
$\frac{1}{7}\sqrt{196} = \frac{1}{7} \times 14 = \frac{14}{7} = 2$
Ответ: $2$.

6) Сначала упростим корень $\sqrt{600}$. Разложим $600$ на множители: $600 = 100 \times 6$. Число $100$ — это квадрат числа $10$.
$\sqrt{600} = \sqrt{100 \times 6} = \sqrt{100} \times \sqrt{6} = 10\sqrt{6}$
Теперь умножим результат на коэффициент $-2,4$:
$-2,4 \times 10\sqrt{6} = -24\sqrt{6}$
Ответ: $-24\sqrt{6}$.

7) Упростим корень $\sqrt{50}$. Разложим $50$ на множители: $50 = 25 \times 2$. Число $25$ — это квадрат числа $5$.
$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = \sqrt{25} \times \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$
Теперь умножим результат на коэффициент $-1,6$:
$-1,6 \times 5\sqrt{2} = -8\sqrt{2}$
Ответ: $-8\sqrt{2}$.

8) Сначала преобразуем смешанное число под корнем в неправильную дробь: $3\frac{21}{25} = \frac{3 \times 25 + 21}{25} = \frac{75+21}{25} = \frac{96}{25}$.
Выражение принимает вид: $\frac{5}{8}\sqrt{\frac{96}{25}}$.
Используем свойство корня из дроби $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$:
$\frac{5}{8}\sqrt{\frac{96}{25}} = \frac{5}{8} \times \frac{\sqrt{96}}{\sqrt{25}}$
Знаменатель $\sqrt{25} = 5$. В числителе вынесем множитель из-под корня: $\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}$.
Подставляем полученные значения:
$\frac{5}{8} \times \frac{4\sqrt{6}}{5} = \frac{5 \times 4\sqrt{6}}{8 \times 5}$
Сокращаем $5$ в числителе и знаменателе, а также $4$ и $8$ (на $4$):
$\frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2}$
Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{2}$.