Страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

879. Выполните действия и результат представьте в стандартном виде:

1) $1.3 \cdot 10^4 + 1.8 \cdot 10^5;$

2) $1.5 \cdot 10^2 - 2.8 \cdot 10^{-2};$

3) $5.6 \cdot 10^3 - 3.2 \cdot 10^2;$

4) $4.8 \cdot 10^{-3} + 6 \cdot 10^{-4}.$

1) Чтобы сложить числа, представленные в стандартном виде, нужно привести их к одному и тому же показателю степени 10 (порядку). Удобнее приводить к большему показателю, в данном случае к 5.

Представим слагаемое $1,3 \cdot 10^4$ так, чтобы показатель степени 10 был равен 5:
$1,3 \cdot 10^4 = 1,3 \cdot 10^{-1} \cdot 10^5 = 0,13 \cdot 10^5$.

Теперь выполним сложение, вынеся общий множитель $10^5$ за скобки:
$0,13 \cdot 10^5 + 1,8 \cdot 10^5 = (0,13 + 1,8) \cdot 10^5 = 1,93 \cdot 10^5$.

Результат $1,93 \cdot 10^5$ представлен в стандартном виде, так как его мантисса $1,93$ удовлетворяет условию $1 \le 1,93 < 10$.

Ответ: $1,93 \cdot 10^5$.

2) В этом примере показатели степеней сильно отличаются. Проще всего сначала записать числа в виде десятичных дробей, выполнить вычитание, а затем представить результат в стандартном виде.

Преобразуем числа:
$1,5 \cdot 10^2 = 1,5 \cdot 100 = 150$.
$2,8 \cdot 10^{-2} = 2,8 : 100 = 0,028$.

Выполним вычитание:
$150 - 0,028 = 149,972$.

Теперь запишем результат $149,972$ в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$.
$149,972 = 1,49972 \cdot 100 = 1,49972 \cdot 10^2$.

Ответ: $1,49972 \cdot 10^2$.

3) Приведем оба числа к большему показателю степени, то есть к 3.

Представим $3,2 \cdot 10^2$ с показателем степени 3:
$3,2 \cdot 10^2 = 3,2 \cdot 10^{-1} \cdot 10^3 = 0,32 \cdot 10^3$.

Теперь выполним вычитание:
$5,6 \cdot 10^3 - 0,32 \cdot 10^3 = (5,6 - 0,32) \cdot 10^3 = 5,28 \cdot 10^3$.

Результат $5,28 \cdot 10^3$ представлен в стандартном виде, так как $1 \le 5,28 < 10$.

Ответ: $5,28 \cdot 10^3$.

4) Приведем слагаемые к одному показателю степени. Больший из показателей равен -3, поэтому приведем оба числа к порядку $10^{-3}$.

Представим $6 \cdot 10^{-4}$ с показателем -3:
$6 \cdot 10^{-4} = 6 \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-3} = 0,6 \cdot 10^{-3}$.

Теперь выполним сложение:
$4,8 \cdot 10^{-3} + 0,6 \cdot 10^{-3} = (4,8 + 0,6) \cdot 10^{-3} = 5,4 \cdot 10^{-3}$.

Результат $5,4 \cdot 10^{-3}$ представлен в стандартном виде, так как $1 \le 5,4 < 10$.

Ответ: $5,4 \cdot 10^{-3}$.

880. Сократите дробь (n — целое число):

1) $\frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}};$

2) $\frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{14^n};$

3) $\frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{12^n};$

4) $\frac{a^6 + a^{11}}{a^{-4} + a};$

5) $\frac{a^{-3} + a^{-2} + a^{-1}}{a^3 + a^2 + a};$

6) $\frac{6^{n+2} - 6^n}{35};$

7) $\frac{5^{n+2} - 5^{n-2}}{5^n};$

8) $\frac{2^{-n} + 1}{2^n + 1}.$

1)
Чтобы сократить дробь $ \frac{9^{n-1}}{3^{2n-3}} $, представим число 9 как степень числа 3: $9 = 3^2$.
Тогда числитель примет вид: $9^{n-1} = (3^2)^{n-1}$.
Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем: $3^{2(n-1)} = 3^{2n-2}$.
Теперь дробь выглядит так: $ \frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}} $.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $.
$ \frac{3^{2n-2}}{3^{2n-3}} = 3^{(2n-2) - (2n-3)} = 3^{2n-2-2n+3} = 3^1 = 3 $.
Ответ: $3$.

2)
Рассмотрим дробь $ \frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{14^n} $.
Представим знаменатель $14^n$ в виде произведения степеней: $14^n = (7 \cdot 2)^n = 7^n \cdot 2^n$.
Подставим это в исходную дробь: $ \frac{7^{n+1} \cdot 2^{n-1}}{7^n \cdot 2^n} $.
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{2^{n-1}}{2^n} $.
Применим правило деления степеней:
$ \frac{7^{n+1}}{7^n} = 7^{(n+1)-n} = 7^1 = 7 $.
$ \frac{2^{n-1}}{2^n} = 2^{(n-1)-n} = 2^{-1} = \frac{1}{2} $.
Перемножим результаты: $ 7 \cdot \frac{1}{2} = \frac{7}{2} $.
Ответ: $\frac{7}{2}$.

3)
Рассмотрим дробь $ \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{12^n} $.
Представим основание 12 в виде произведения простых множителей: $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$.
Тогда знаменатель $12^n = (2^2 \cdot 3)^n = (2^2)^n \cdot 3^n = 2^{2n} \cdot 3^n$.
Подставим в дробь: $ \frac{2^{2n-1} \cdot 3^{n+1}}{2^{2n} \cdot 3^n} $.
Сгруппируем и сократим степени с одинаковыми основаниями:
$ \frac{2^{2n-1}}{2^{2n}} \cdot \frac{3^{n+1}}{3^n} = 2^{(2n-1)-2n} \cdot 3^{(n+1)-n} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = \frac{3}{2} $.
Ответ: $\frac{3}{2}$.

4)
Рассмотрим дробь $ \frac{a^6 + a^{11}}{a^{-4} + a} $.
Вынесем в числителе и знаменателе общий множитель с наименьшим показателем степени.
В числителе: $a^6 + a^{11} = a^6(1 + a^{11-6}) = a^6(1 + a^5)$.
В знаменателе: $a^{-4} + a^1 = a^{-4}(1 + a^{1-(-4)}) = a^{-4}(1 + a^5)$.
Дробь примет вид: $ \frac{a^6(1 + a^5)}{a^{-4}(1 + a^5)} $.
Сократим общий множитель $(1+a^5)$ (при условии, что $1+a^5 \neq 0$):
$ \frac{a^6}{a^{-4}} = a^{6 - (-4)} = a^{6+4} = a^{10} $.
Ответ: $a^{10}$.

5)
Рассмотрим дробь $ \frac{a^{-3} + a^{-2} + a^{-1}}{a^3 + a^2 + a} $.
Вынесем общий множитель за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем $a^{-3}$: $a^{-3} + a^{-2} + a^{-1} = a^{-3}(1 + a^1 + a^2) = a^{-3}(1 + a + a^2)$.
В знаменателе вынесем $a$: $a^3 + a^2 + a = a(a^2 + a + 1)$.
Подставим в дробь: $ \frac{a^{-3}(1 + a + a^2)}{a(a^2 + a + 1)} $.
Сократим общий множитель $(1 + a + a^2)$ (при условии, что он не равен нулю):
$ \frac{a^{-3}}{a^1} = a^{-3-1} = a^{-4} $.
Ответ: $a^{-4}$.

6)
Рассмотрим дробь $ \frac{6^{n+2} - 6^n}{35} $.
Используем свойство степени $a^{m+k} = a^m \cdot a^k$ и преобразуем числитель:
$6^{n+2} - 6^n = 6^n \cdot 6^2 - 6^n = 6^n(6^2 - 1)$.
Вычислим выражение в скобках: $6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$.
Тогда числитель равен $6^n \cdot 35$.
Подставим это в дробь: $ \frac{6^n \cdot 35}{35} $.
Сократим на 35, получим $6^n$.
Ответ: $6^n$.

7)
Рассмотрим дробь $ \frac{5^{n+2} - 5^{n-2}}{5^n} $.
Можно почленно разделить числитель на знаменатель:
$ \frac{5^{n+2}}{5^n} - \frac{5^{n-2}}{5^n} $.
Используем правило деления степеней $ \frac{a^m}{a^k} = a^{m-k} $:
$ 5^{(n+2)-n} - 5^{(n-2)-n} = 5^2 - 5^{-2} $.
Вычислим значение выражения:
$ 25 - \frac{1}{5^2} = 25 - \frac{1}{25} = \frac{25 \cdot 25}{25} - \frac{1}{25} = \frac{625-1}{25} = \frac{624}{25} $.
Ответ: $\frac{624}{25}$.

8)
Рассмотрим дробь $ \frac{2^{-n} + 1}{2^n + 1} $.
Представим $2^{-n}$ как $ \frac{1}{2^n} $.
Тогда числитель примет вид: $ \frac{1}{2^n} + 1 $.
Приведем числитель к общему знаменателю: $ \frac{1}{2^n} + \frac{2^n}{2^n} = \frac{1+2^n}{2^n} $.
Теперь вся дробь выглядит так: $ \frac{\frac{1+2^n}{2^n}}{2^n+1} $.
Это эквивалентно $ \frac{1+2^n}{2^n(2^n+1)} $.
Сократим общий множитель $(1+2^n)$:
$ \frac{1}{2^n} $.
Этот результат можно также записать как $2^{-n}$.
Ответ: $\frac{1}{2^n}$.

881. Функция задана формулой $y = -\frac{24}{x}$. Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: -4; 8; 1,2;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 24; -18; 60.

1) Чтобы найти значение функции, нужно подставить заданные значения аргумента $x$ в формулу $y = -\frac{24}{x}$.

Если $x = -4$, то $y = -\frac{24}{-4} = 6$.

Если $x = 8$, то $y = -\frac{24}{8} = -3$.

Если $x = 1,2$, то $y = -\frac{24}{1,2} = -\frac{240}{12} = -20$.

Ответ: 6; -3; -20.

2) Чтобы найти значение аргумента $x$, при котором функция $y$ принимает заданное значение, нужно выразить $x$ из формулы $y = -\frac{24}{x}$.

Из $y = -\frac{24}{x}$ следует, что $x \cdot y = -24$, откуда получаем формулу для нахождения аргумента: $x = -\frac{24}{y}$.

Теперь подставим заданные значения функции $y$ в эту формулу:

Если $y = 24$, то $x = -\frac{24}{24} = -1$.

Если $y = -18$, то $x = -\frac{24}{-18} = \frac{24}{18} = \frac{4}{3}$.

Если $y = 60$, то $x = -\frac{24}{60} = -\frac{2}{5} = -0,4$.

Ответ: -1; $\frac{4}{3}$; -0,4.

882. Постройте график функции $y = \frac{b}{x}$. Пользуясь графиком, найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 2; -1,5; 4;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: -2; 3; -4,5;

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

Для построения графика функции $y = \frac{6}{x}$ составим таблицу значений. Эта функция является обратной пропорциональностью, а ее график — гипербола. Так как коэффициент $k=6$ больше нуля, ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

Вычислим координаты нескольких точек для построения графика:

По этим точкам строим две ветви гиперболы. Далее, используя построенный график, находим требуемые значения. Для точности будем проверять результаты вычислениями.

883. Постройте график функции $y = \frac{5}{|x|}$.

Для построения графика функции $y=\frac{5}{|x|}$ необходимо проанализировать ее свойства и рассмотреть, как она себя ведет в зависимости от знака $x$.

Функция содержит модуль аргумента $|x|$, поэтому ее можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} \frac{5}{x}, & \text{если } x > 0 \\ \frac{5}{-x}, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Анализ свойств функции

• Область определения: Знаменатель $|x|$ не должен быть равен нулю, следовательно, $x \neq 0$. Область определения $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
• Область значений: Числитель 5 — положительное число. Знаменатель $|x|$ также всегда положителен при $x \neq 0$. Следовательно, значение функции $y$ всегда будет положительным. Область значений $E(y) = (0; +\infty)$.
• Четность: Проверим функцию на четность, подставив $-x$ вместо $x$: $y(-x) = \frac{5}{|-x|} = \frac{5}{|x|} = y(x)$. Так как $y(-x) = y(x)$, функция является четной. Это означает, что ее график симметричен относительно оси ординат (оси OY).
• Асимптоты: При $x$, стремящемся к 0 (справа или слева), значение $|x|$ стремится к 0, а значение дроби $\frac{5}{|x|}$ стремится к $+\infty$. Следовательно, прямая $x=0$ (ось OY) является вертикальной асимптотой. При $x$, стремящемся к $\pm\infty$, значение $|x|$ стремится к $+\infty$, а значение дроби $\frac{5}{|x|}$ стремится к 0. Следовательно, прямая $y=0$ (ось OX) является горизонтальной асимптотой.

2. Построение графика

Так как функция четная, достаточно построить ее график для $x > 0$ и затем симметрично отразить его относительно оси OY.

При $x > 0$ функция принимает вид $y = \frac{5}{x}$. Это стандартная гипербола, ветвь которой расположена в первой координатной четверти.

Составим таблицу значений для нескольких точек при $x > 0$:

Построим ветвь в первой четверти, отметив точки (0.5, 10), (1, 5), (2, 2.5), (5, 1), (10, 0.5) и соединив их плавной кривой, которая приближается к осям координат.

Далее, используя свойство четности, отражаем построенную ветвь симметрично относительно оси OY. Таким образом, мы получаем вторую ветвь графика, расположенную во второй координатной четверти. Она будет проходить через точки (-0.5, 10), (-1, 5), (-2, 2.5), (-5, 1), (-10, 0.5).

Итоговый график состоит из двух ветвей, обе находятся выше оси абсцисс, в I и II координатных четвертях, и симметричны относительно оси ординат.

Ответ: График функции $y=\frac{5}{|x|}$ состоит из двух ветвей гиперболы. Первая ветвь, являющаяся графиком функции $y=\frac{5}{x}$ при $x>0$, расположена в первой координатной четверти. Вторая ветвь, являющаяся графиком функции $y=-\frac{5}{x}$ при $x<0$, расположена во второй координатной четверти. Весь график симметричен относительно оси OY и лежит в верхней полуплоскости ($y>0$). Оси координат ($x=0$ и $y=0$) являются асимптотами графика.

884. Постройте в одной системе координат графики функций $y = -\frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ и укажите координаты точек их пересечения.

Для решения данной задачи необходимо построить графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ в одной координатной плоскости, а затем найти координаты их точек пересечения аналитическим методом.

Построение графиков

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами. Для построения графика составим таблицу с несколькими точками:

2. График функции $y = x - 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• При $y=0$, $0 = x - 3$, откуда $x=3$. Получаем точку $(3, 0)$.

Построив эти точки в системе координат и соединив их, получаем графики гиперболы и прямой.

Нахождение координат точек пересечения

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x - 3 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = x - 3$

Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$ из области определения первой функции):

$4 = x(x - 3)$

$4 = x^2 - 3x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 3$:

• Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 3 = 1$.
  Первая точка пересечения: $(4, 1)$.
• Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1 - 3 = -4$.
  Вторая точка пересечения: $(-1, -4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(4, 1)$ и $(-1, -4)$.

885. Найдите значение $p$, если известно, что график функции $y=\frac{p}{x}$ проходит через точку:

1) $A (-3; 2);$

2) $B (-\frac{1}{7}; 3);$

3) $C (-0,4; 1,6).$

По условию, график функции $y = \frac{p}{x}$ проходит через заданную точку. Это означает, что координаты точки $(x; y)$ удовлетворяют уравнению функции. Чтобы найти значение параметра $p$, мы можем подставить координаты $x$ и $y$ каждой точки в уравнение и решить его относительно $p$. Общая формула для нахождения $p$ выглядит так: $p = x \cdot y$.

1) A (-3; 2)
Для точки А имеем $x = -3$ и $y = 2$. Подставляем эти значения в формулу $y = \frac{p}{x}$:
$2 = \frac{p}{-3}$
Чтобы найти $p$, умножим обе части уравнения на $-3$:
$p = 2 \cdot (-3)$
$p = -6$
Ответ: -6

2) B $(-\frac{1}{7}; 3)$
Для точки B имеем $x = -\frac{1}{7}$ и $y = 3$. Подставляем эти значения в уравнение:
$3 = \frac{p}{-\frac{1}{7}}$
Чтобы найти $p$, умножим обе части уравнения на $-\frac{1}{7}$:
$p = 3 \cdot \left(-\frac{1}{7}\right)$
$p = -\frac{3}{7}$
Ответ: $-\frac{3}{7}$

3) C (-0,4; 1,6)
Для точки C имеем $x = -0,4$ и $y = 1,6$. Подставляем эти значения в уравнение:
$1.6 = \frac{p}{-0.4}$
Чтобы найти $p$, умножим обе части уравнения на $-0,4$:
$p = 1.6 \cdot (-0.4)$
$p = -0.64$
Ответ: -0,64

886. Постройте график функции:

1) $y = \begin{cases} -\frac{12}{x}, & \text{если } x \leq -3; \\ 1-x, & \text{если } x > -3; \end{cases}$

2) $y = \begin{cases} 3x-1, & \text{если } x < 2, \\ \frac{10}{x}, & \text{если } 2 \leq x < 5, \\ x-3, & \text{если } x \geq 5. \end{cases}$

1)

Данная функция является кусочно-заданной. График состоит из двух частей: ветви гиперболы при $x \le -3$ и луча при $x > -3$.

Шаг 1. Построение графика функции $y = -\frac{12}{x}$ на промежутке $x \le -3$.

График функции $y = -\frac{12}{x}$ — это гипербола, расположенная во II и IV координатных четвертях. Нас интересует ее часть при $x \le -3$.

Составим таблицу значений для этой части графика:

• При $x = -3$, $y = -\frac{12}{-3} = 4$. Точка $(-3, 4)$ является граничной и принадлежит графику (будет закрашенной).
• При $x = -4$, $y = -\frac{12}{-4} = 3$.
• При $x = -6$, $y = -\frac{12}{-6} = 2$.
• При $x = -12$, $y = -\frac{12}{-12} = 1$.

Соединяем эти точки плавной кривой, которая уходит влево, приближаясь к оси Ox (горизонтальная асимптота $y=0$).

Шаг 2. Построение графика функции $y = 1 - x$ на промежутке $x > -3$.

График функции $y = 1 - x$ — это прямая линия. Нам нужна ее часть при $x > -3$, то есть луч.

Для построения луча достаточно двух точек:

• Найдем значение в граничной точке $x = -3$: $y = 1 - (-3) = 4$. Точка $(-3, 4)$ не принадлежит этому лучу (была бы выколотой), но она совпадает с конечной точкой предыдущего куска графика, которая включена. Таким образом, в точке $x = -3$ разрыва нет.
• Возьмем еще одну точку, например, $x = 1$: $y = 1 - 1 = 0$. Точка $(1, 0)$ принадлежит графику.

Проводим луч, начинающийся в точке $(-3, 4)$ и проходящий через точку $(1, 0)$.

Шаг 3. Объединение графиков.

Объединяем построенные части на одной координатной плоскости. График функции является непрерывной линией, состоящей из ветви гиперболы для $x \le -3$ и луча для $x > -3$, которые соединяются в точке $(-3, 4)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. Первая — часть гиперболы $y = -\frac{12}{x}$, расположенная во второй координатной четверти, для всех $x$ от $-\infty$ до $-3$ включительно. Ключевая точка этой части — $(-3, 4)$. Вторая часть — луч, заданный уравнением $y = 1 - x$, начинающийся в точке $(-3, 4)$ и проходящий, например, через точку $(1, 0)$. В точке $x = -3$ функция непрерывна.

2)

Данная функция является кусочно-заданной и состоит из трех частей.

Шаг 1. Построение графика функции $y = 3x - 1$ на промежутке $x < 2$.

График функции $y = 3x - 1$ — это прямая. Нам нужна ее часть при $x < 2$, то есть луч.

Найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: при $x = 2$, $y = 3(2) - 1 = 5$. Точка $(2, 5)$ не принадлежит графику (выколотая).
• Контрольная точка: при $x = 0$, $y = 3(0) - 1 = -1$. Точка $(0, -1)$ принадлежит графику.

Строим луч, проходящий через $(0, -1)$ и заканчивающийся в выколотой точке $(2, 5)$.

Шаг 2. Построение графика функции $y = \frac{10}{x}$ на промежутке $2 \le x < 5$.

График функции $y = \frac{10}{x}$ — это гипербола. Нас интересует ее часть на отрезке $[2, 5)$.

Найдем значения на границах интервала:

• При $x = 2$, $y = \frac{10}{2} = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику (закрашенная). Она "закрывает" выколотую точку от предыдущей части, делая функцию непрерывной в этой точке.
• При $x = 5$, $y = \frac{10}{5} = 2$. Точка $(5, 2)$ не принадлежит графику (выколотая).

Соединяем точки $(2, 5)$ и $(5, 2)$ плавной кривой (частью гиперболы).

Шаг 3. Построение графика функции $y = x - 3$ на промежутке $x \ge 5$.

График функции $y = x - 3$ — это прямая. Нам нужна ее часть при $x \ge 5$, то есть луч.

Найдем координаты двух точек:

• Граничная точка: при $x = 5$, $y = 5 - 3 = 2$. Точка $(5, 2)$ принадлежит графику (закрашенная). Она "закрывает" выколотую точку от предыдущей части, делая функцию непрерывной.
• Контрольная точка: при $x = 7$, $y = 7 - 3 = 4$. Точка $(7, 4)$ принадлежит графику.

Строим луч, начинающийся в точке $(5, 2)$ и проходящий через точку $(7, 4)$.

Шаг 4. Объединение графиков.

Объединяем все три части на одной координатной плоскости. Функция является непрерывной на всей числовой прямой. График состоит из луча, переходящего в точке $(2, 5)$ в участок гиперболы, который в свою очередь в точке $(5, 2)$ переходит в другой луч.

Ответ: График функции состоит из трех частей. Первая — луч $y = 3x - 1$ для $x < 2$, заканчивающийся в точке $(2, 5)$. Вторая — часть гиперболы $y = \frac{10}{x}$ для $2 \le x < 5$, соединяющая точки $(2, 5)$ и $(5, 2)$. Третья — луч $y = x - 3$ для $x \ge 5$, начинающийся в точке $(5, 2)$. График является непрерывной линией.