Страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

874. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-7} \cdot a^{10}$;

2) $a^{-9} \cdot a^{5}$;

3) $a^{17} \cdot a^{-4} \cdot a^{-11}$;

4) $a^{-2} : a^{3}$;

5) $a^{12} : a^{-4}$;

6) $a^{-7} : a^{-11}$;

7) $a^{-12} : a^{-10} \cdot a^{4}$;

8) $(a^{3})^{-5}$;

9) $(a^{-12})^{-2}$;

10) $(a^{-3})^{4} : (a^{-2})^{5} : (a^{-1})^{-7}$;

11) $(m^{-3}n^{4}p^{7})^{-4}$;

12) $(a^{-1}b^{-2})^{-3}$;

13) $(x^{3}y^{-4})^{5} \cdot (x^{-2}y^{-3})^{3}$;

14) $\left(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^{4}}\right)^{-3}$;

15) $\left(\frac{a^{-7}}{b^{5}}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{a^{4}}{b^{-7}}\right)^{-5}$.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $a^{-7} \cdot a^{10} = a^{-7+10} = a^3$. Ответ: $a^3$.

2) Аналогично предыдущему пункту, складываем показатели степеней: $a^{-9} \cdot a^{5} = a^{-9+5} = a^{-4}$. Ответ: $a^{-4}$.

3) Складываем показатели всех степеней с основанием $a$: $a^{17} \cdot a^{-4} \cdot a^{-11} = a^{17+(-4)+(-11)} = a^{17-15} = a^2$. Ответ: $a^2$.

4) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $a^{-2} : a^{3} = a^{-2-3} = a^{-5}$. Ответ: $a^{-5}$.

5) Вычитаем показатели степеней, так как происходит деление: $a^{12} : a^{-4} = a^{12-(-4)} = a^{12+4} = a^{16}$. Ответ: $a^{16}$.

6) Вычитаем показатели степеней: $a^{-7} : a^{-11} = a^{-7-(-11)} = a^{-7+11} = a^4$. Ответ: $a^4$.

7) Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала деление, затем умножение: $a^{-12} : a^{-10} \cdot a^{4} = a^{-12-(-10)} \cdot a^4 = a^{-2} \cdot a^4 = a^{-2+4} = a^2$. Ответ: $a^2$.

8) При возведении степени в степень показатели перемножаются. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(a^3)^{-5} = a^{3 \cdot (-5)} = a^{-15}$. Ответ: $a^{-15}$.

9) Аналогично предыдущему пункту, перемножаем показатели: $(a^{-12})^{-2} = a^{-12 \cdot (-2)} = a^{24}$. Ответ: $a^{24}$.

10) Сначала упрощаем каждую степень, а затем выполняем деление последовательно: $(a^{-3})^4 : (a^{-2})^5 : (a^{-1})^{-7} = a^{-12} : a^{-10} : a^7 = a^{-12 - (-10) - 7} = a^{-2 - 7} = a^{-9}$. Ответ: $a^{-9}$.

11) Возводим каждый множитель в скобках в степень $-4$, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $(m^{-3}n^4p^7)^{-4} = (m^{-3})^{-4}(n^4)^{-4}(p^7)^{-4} = m^{12}n^{-16}p^{-28}$. Ответ: $m^{12}n^{-16}p^{-28}$.

12) Возводим каждый множитель в степень $-3$: $(a^{-1}b^{-2})^{-3} = (a^{-1})^{-3}(b^{-2})^{-3} = a^{-1 \cdot (-3)}b^{-2 \cdot (-3)} = a^3b^6$. Ответ: $a^3b^6$.

13) Упрощаем каждое выражение в скобках и перемножаем результаты: $(x^3y^{-4})^5 \cdot (x^{-2}y^{-3})^3 = (x^{3 \cdot 5}y^{-4 \cdot 5}) \cdot (x^{-2 \cdot 3}y^{-3 \cdot 3}) = (x^{15}y^{-20}) \cdot (x^{-6}y^{-9})$. Затем группируем степени с одинаковыми основаниями: $x^{15}x^{-6} \cdot y^{-20}y^{-9} = x^{15-6}y^{-20-9} = x^9y^{-29}$. Ответ: $x^9y^{-29}$.

14) Возводим числитель и знаменатель в степень $-3$: $(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^4})^{-3} = \frac{(a^{11}b^{-7})^{-3}}{(c^{-3}d^4)^{-3}} = \frac{a^{11 \cdot (-3)}b^{-7 \cdot (-3)}}{c^{-3 \cdot (-3)}d^{4 \cdot (-3)}} = \frac{a^{-33}b^{21}}{c^9d^{-12}}$. Представляем в виде произведения степеней: $a^{-33}b^{21}c^{-9}d^{12}$. Ответ: $a^{-33}b^{21}c^{-9}d^{12}$.

15) Упрощаем каждую дробь, возводя в степень, а затем перемножаем результаты. Первая дробь: $(\frac{a^{-7}}{b^5})^{-3} = \frac{(a^{-7})^{-3}}{(b^5)^{-3}} = \frac{a^{21}}{b^{-15}}$. Вторая дробь: $(\frac{a^4}{b^{-7}})^{-5} = \frac{(a^4)^{-5}}{(b^{-7})^{-5}} = \frac{a^{-20}}{b^{35}}$. Перемножаем: $\frac{a^{21}}{b^{-15}} \cdot \frac{a^{-20}}{b^{35}} = \frac{a^{21}a^{-20}}{b^{-15}b^{35}} = \frac{a^{21-20}}{b^{-15+35}} = \frac{a}{b^{20}} = ab^{-20}$. Ответ: $ab^{-20}$.

875. Найдите значение выражения:

1) $11^{-23} \cdot 11^{25},$

2) $3^{17} \cdot 3^{-14},$

3) $4^{-16} : 4^{-12},$

4) $10^{-15} : 10^{-14} \cdot 10^{-2},$

5) $(14^{-10})^5 \cdot (14^{-6})^{-8},$

6) $\frac{3^{-12} \cdot (3^{-6})^{-3}}{(3^{-3})^{-4} \cdot (3^{-4})^2}.$

1) Для решения используем свойство степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$11^{-23} \cdot 11^{25} = 11^{-23+25} = 11^2 = 121$.

Ответ: 121

2) Применяем то же свойство, что и в первом примере: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$3^{17} \cdot 3^{-14} = 3^{17 + (-14)} = 3^{17-14} = 3^3 = 27$.

Ответ: 27

3) Для решения используем свойство степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$4^{-16} : 4^{-12} = 4^{-16 - (-12)} = 4^{-16+12} = 4^{-4}$.

Используем свойство отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

$4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256}$.

Ответ: $\frac{1}{256}$

4) Выполним действия по порядку, используя свойства умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

Сначала деление: $10^{-15} : 10^{-14} = 10^{-15 - (-14)} = 10^{-15+14} = 10^{-1}$.

Затем умножение: $10^{-1} \cdot 10^{-2} = 10^{-1 + (-2)} = 10^{-3}$.

$10^{-3} = \frac{1}{10^3} = \frac{1}{1000} = 0,001$.

Ответ: 0,001

5) Сначала используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(14^{-10})^5 = 14^{-10 \cdot 5} = 14^{-50}$.

$(14^{-6})^{-8} = 14^{-6 \cdot (-8)} = 14^{48}$.

Теперь перемножим полученные выражения: $14^{-50} \cdot 14^{48} = 14^{-50+48} = 14^{-2}$.

$14^{-2} = \frac{1}{14^2} = \frac{1}{196}$.

Ответ: $\frac{1}{196}$

6) Упростим отдельно числитель и знаменатель дроби, используя свойства степеней.

Числитель: $3^{-12} \cdot (3^{-6})^{-3}$. Сначала возводим степень в степень: $(3^{-6})^{-3} = 3^{-6 \cdot (-3)} = 3^{18}$. Затем умножаем: $3^{-12} \cdot 3^{18} = 3^{-12+18} = 3^6$.

Знаменатель: $(3^{-3})^{-4} \cdot (3^{-4})^2$. Возводим в степень: $(3^{-3})^{-4} = 3^{-3 \cdot (-4)} = 3^{12}$ и $(3^{-4})^2 = 3^{-4 \cdot 2} = 3^{-8}$. Затем умножаем: $3^{12} \cdot 3^{-8} = 3^{12+(-8)} = 3^4$.

Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} = 3^2 = 9$.

Ответ: 9

876. Найдите значение выражения:

1) $25^{-3} \cdot 5^8$;

2) $64^{-3} \cdot 32^{-3}$;

3) $10^{-10} : 1000^{-3} \cdot (0,001)^{-5}$;

4) $\frac{(-27)^{-12} \cdot 9^5}{81^{-4} \cdot 3^{-7}}$;

5) $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$;

6) $\frac{(0,125)^{-8} \cdot 16^{-7}}{32^{-2}}$.

1) $25^{-3} \cdot 5^8$

Представим число 25 как степень числа 5: $25 = 5^2$.

Подставим это в исходное выражение: $(5^2)^{-3} \cdot 5^8$.

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $5^{2 \cdot (-3)} \cdot 5^8 = 5^{-6} \cdot 5^8$.

Далее используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $5^{-6+8} = 5^2$.

Вычисляем результат: $5^2 = 25$.

Ответ: 25

2) $64^{-3} : 32^{-3}$

Воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым показателем $a^n : b^n = (a : b)^n$:

$64^{-3} : 32^{-3} = (64 : 32)^{-3} = 2^{-3}$.

Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$

3) $10^{-10} : 1000^{-3} \cdot (0,001)^{-5}$

Представим все числа в виде степеней 10: $1000 = 10^3$, $0,001 = 10^{-3}$.

Подставим в выражение: $10^{-10} : (10^3)^{-3} \cdot (10^{-3})^{-5}$.

Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$10^{-10} : 10^{-9} \cdot 10^{15}$.

Выполним операции по порядку. Сначала деление $a^m : a^n = a^{m-n}$:

$10^{-10 - (-9)} \cdot 10^{15} = 10^{-1} \cdot 10^{15}$.

Затем умножение $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^{-1+15} = 10^{14}$.

Ответ: $10^{14}$

4) $\frac{(-27)^{-12} \cdot 9^5}{81^{-4} \cdot 3^{-7}}$

Так как показатель степени (-12) — четное число, то $(-27)^{-12} = 27^{-12}$.

Представим все основания в виде степеней числа 3: $27 = 3^3$, $9 = 3^2$, $81 = 3^4$.

Подставим в выражение: $\frac{(3^3)^{-12} \cdot (3^2)^5}{(3^4)^{-4} \cdot 3^{-7}}$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{3^{-36} \cdot 3^{10}}{3^{-16} \cdot 3^{-7}}$.

Упростим числитель и знаменатель, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$\frac{3^{-36+10}}{3^{-16-7}} = \frac{3^{-26}}{3^{-23}}$.

Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $3^{-26 - (-23)} = 3^{-26+23} = 3^{-3}$.

Вычисляем результат: $3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

Ответ: $\frac{1}{27}$

5) $\frac{15^4 \cdot 5^{-6}}{45^{-3} \cdot 3^9}$

Разложим основания на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$, $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.

Подставим в выражение: $\frac{(3 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2 \cdot 5)^{-3} \cdot 3^9}$.

Раскроем скобки, используя свойство $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$: $\frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{(3^2)^{-3} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9} = \frac{3^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-6}}{3^{-6} \cdot 5^{-3} \cdot 3^9}$.

Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $\frac{3^4 \cdot 5^{4-6}}{3^{-6+9} \cdot 5^{-3}} = \frac{3^4 \cdot 5^{-2}}{3^3 \cdot 5^{-3}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для каждого основания:

$3^{4-3} \cdot 5^{-2 - (-3)} = 3^1 \cdot 5^{-2+3} = 3^1 \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15$.

Ответ: 15

6) $\frac{(0,125)^{-8} \cdot 16^{-7}}{32^{-2}}$

Представим все числа в виде степеней 2: $0,125 = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$, $16 = 2^4$, $32 = 2^5$.

Подставим в выражение: $\frac{(2^{-3})^{-8} \cdot (2^4)^{-7}}{(2^5)^{-2}}$.

Применим свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $\frac{2^{(-3) \cdot (-8)} \cdot 2^{4 \cdot (-7)}}{2^{5 \cdot (-2)}} = \frac{2^{24} \cdot 2^{-28}}{2^{-10}}$.

Упростим числитель: $\frac{2^{24-28}}{2^{-10}} = \frac{2^{-4}}{2^{-10}}$.

Применим свойство частного степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{-4 - (-10)} = 2^{-4+10} = 2^6$.

Вычисляем результат: $2^6 = 64$.

Ответ: 64

877. Упростите выражение:

1) $\frac{3}{5}x^{-3}y^{5} \cdot \frac{5}{9}x^{4}y^{-7}$;

2) $0,2a^{12}b^{-9} \cdot 50a^{-10}b^{10}$;

3) $-0,3a^{10}b^{7} \cdot 5a^{-8}b^{-6}$;

4) $0,36a^{-5}b^{6}c^{3} \cdot \left(-2\frac{2}{9}\right)a^{4}b^{-4}c^{-5}$;

5) $2x^{7} \cdot \left(-3x^{-2}y^{3}\right)^{3}$;

6) $(a^{2}b^{9})^{-3} \cdot (-2a^{4}b^{10})$;

7) $(-5a^{-3}b^{2}c^{-2})^{-2} \cdot (0,1a^{2}b^{-3}c)^{-3}$;

8) $0,1m^{-5}n^{4} \cdot (0,01m^{-3}n)^{-2}$;

9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^{4} \cdot \left(\frac{5}{2}a^{-2}b^{2}\right)^{-3}$;

10) $-(4a^{-4}b^{3})^{-2} \cdot \left(-\frac{1}{8}a^{3}b^{-3}\right)^{-3}$;

11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} \cdot \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}}$;

12) $\left(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}}\right)^{-2} \cdot (27x^{-2}y^{4})^{2}$.

1) Для упрощения выражения $\frac{3}{5}x^{-3}y^5 \cdot \frac{5}{9}x^4y^{-7}$ сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9}) \cdot (x^{-3} \cdot x^4) \cdot (y^5 \cdot y^{-7})$
Перемножим коэффициенты: $\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^{-3+4} = x^1 = x$ и $y^{5+(-7)} = y^{-2}$.
Собираем все вместе: $\frac{1}{3}xy^{-2}$.
Ответ: $\frac{1}{3}xy^{-2}$

2) $0,2a^{12}b^{-9} \cdot 50a^{-10}b^{10}$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(0,2 \cdot 50) \cdot (a^{12} \cdot a^{-10}) \cdot (b^{-9} \cdot b^{10})$
$0,2 \cdot 50 = 10$.
$a^{12} \cdot a^{-10} = a^{12-10} = a^2$.
$b^{-9} \cdot b^{10} = b^{-9+10} = b^1 = b$.
Результат: $10a^2b$.
Ответ: $10a^2b$

3) $-0,3a^{10}b^7 \cdot 5a^{-8}b^{-6}$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(-0,3 \cdot 5) \cdot (a^{10} \cdot a^{-8}) \cdot (b^7 \cdot b^{-6})$
$-0,3 \cdot 5 = -1,5$.
$a^{10-8} = a^2$.
$b^{7-6} = b^1 = b$.
Результат: $-1,5a^2b$.
Ответ: $-1,5a^2b$

4) $0,36a^{-5}b^6c^3 \cdot (-2\frac{2}{9})a^4b^{-4}c^{-5}$
Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ и $-2\frac{2}{9} = -\frac{20}{9}$.
Выполним умножение: $(\frac{9}{25} \cdot -\frac{20}{9}) \cdot (a^{-5}a^4) \cdot (b^6b^{-4}) \cdot (c^3c^{-5})$.
Коэффициенты: $\frac{9}{25} \cdot (-\frac{20}{9}) = -\frac{20}{25} = -0,8$.
Степени: $a^{-5+4}=a^{-1}$; $b^{6-4}=b^2$; $c^{3-5}=c^{-2}$.
Результат: $-0,8a^{-1}b^2c^{-2}$.
Ответ: $-0,8a^{-1}b^2c^{-2}$

5) $2x^7 \cdot (-3x^{-2}y^3)^3$
Сначала возведем второй множитель в куб, используя правило $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:
$(-3x^{-2}y^3)^3 = (-3)^3 \cdot (x^{-2})^3 \cdot (y^3)^3 = -27x^{-6}y^9$.
Теперь умножим на первый множитель: $2x^7 \cdot (-27x^{-6}y^9)$.
$(2 \cdot -27) \cdot (x^7 \cdot x^{-6}) \cdot y^9 = -54x^{7-6}y^9 = -54xy^9$.
Ответ: $-54xy^9$

6) $(a^2b^9)^{-3} \cdot (-2a^4b^{10})$
Возведем первый множитель в степень -3: $(a^2)^{-3}(b^9)^{-3} = a^{-6}b^{-27}$.
Умножим на второй множитель: $a^{-6}b^{-27} \cdot (-2a^4b^{10})$.
Сгруппируем: $-2 \cdot (a^{-6}a^4) \cdot (b^{-27}b^{10}) = -2a^{-6+4}b^{-27+10} = -2a^{-2}b^{-17}$.
Ответ: $-2a^{-2}b^{-17}$

7) $(-5a^{-3}b^2c^{-2})^{-2} \cdot (0,1a^2b^{-3}c)^{-3}$
Упростим каждый множитель отдельно.
Первый: $(-5)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^2)^{-2} \cdot (c^{-2})^{-2} = \frac{1}{25}a^6b^{-4}c^4$.
Второй ($0,1 = 10^{-1}$): $(10^{-1})^{-3} \cdot (a^2)^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} \cdot c^{-3} = 10^3a^{-6}b^9c^{-3} = 1000a^{-6}b^9c^{-3}$.
Перемножим результаты: $(\frac{1}{25}a^6b^{-4}c^4) \cdot (1000a^{-6}b^9c^{-3})$.
$(\frac{1}{25} \cdot 1000) \cdot (a^6a^{-6}) \cdot (b^{-4}b^9) \cdot (c^4c^{-3}) = 40 \cdot a^0 \cdot b^5 \cdot c^1 = 40b^5c$.
Ответ: $40b^5c$

8) $0,1m^{-5}n^4 \cdot (0,01m^{-3}n)^{-2}$
Упростим второй множитель ($0,01 = 10^{-2}$): $(10^{-2})^{-2} \cdot (m^{-3})^{-2} \cdot n^{-2} = 10^4m^6n^{-2} = 10000m^6n^{-2}$.
Перемножим: $0,1m^{-5}n^4 \cdot (10000m^6n^{-2})$.
$(0,1 \cdot 10000) \cdot (m^{-5}m^6) \cdot (n^4n^{-2}) = 1000 \cdot m^1 \cdot n^2 = 1000mn^2$.
Ответ: $1000mn^2$

9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^4 \cdot (\frac{5}{2}a^{-2}b^2)^{-3}$
Преобразуем $-6\frac{1}{4} = -\frac{25}{4}$.
Упростим второй множитель: $(\frac{5}{2})^{-3} \cdot (a^{-2})^{-3} \cdot (b^2)^{-3} = (\frac{2}{5})^3 a^6 b^{-6} = \frac{8}{125}a^6b^{-6}$.
Перемножим: $(-\frac{25}{4}a^{-7}b^4) \cdot (\frac{8}{125}a^6b^{-6})$.
$(-\frac{25}{4} \cdot \frac{8}{125}) \cdot (a^{-7}a^6) \cdot (b^4b^{-6}) = -\frac{2}{5}a^{-1}b^{-2} = -0,4a^{-1}b^{-2}$.
Ответ: $-0,4a^{-1}b^{-2}$

10) $-(4a^{-4}b^3)^{-2} \cdot (-\frac{1}{8}a^3b^{-3})^{-3}$
Упростим первый множитель: $-(4^{-2}a^8b^{-6}) = -\frac{1}{16}a^8b^{-6}$.
Упростим второй множитель: $(-\frac{1}{8})^{-3} \cdot (a^3)^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} = (-8)^3a^{-9}b^9 = -512a^{-9}b^9$.
Перемножим: $(-\frac{1}{16}a^8b^{-6}) \cdot (-512a^{-9}b^9)$.
$(-\frac{1}{16} \cdot -512) \cdot (a^8a^{-9}) \cdot (b^{-6}b^9) = 32a^{-1}b^3$.
Ответ: $32a^{-1}b^3$

11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} \cdot \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}}$
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(\frac{19}{33} \cdot \frac{11}{76}) \cdot (\frac{a^{-15}}{a^{-17}}) \cdot (\frac{b^{-11}}{b^{-14}})$.
Упростим коэффициенты: $\frac{19 \cdot 11}{3 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 19} = \frac{1}{12}$.
При делении степеней показатели вычитаются: $a^{-15 - (-17)} = a^2$ и $b^{-11 - (-14)} = b^3$.
Результат: $\frac{1}{12}a^2b^3$.
Ответ: $\frac{1}{12}a^2b^3$

12) $(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}})^{-2} \cdot (27x^{-2}y^4)^2$
Упростим первый множитель: $\frac{(9x^{-3})^{-2}}{(5y^{-2})^{-2}} = \frac{9^{-2}(x^{-3})^{-2}}{5^{-2}(y^{-2})^{-2}} = \frac{9^{-2}x^6}{5^{-2}y^4} = \frac{5^2x^6}{9^2y^4} = \frac{25x^6}{81y^4}$.
Упростим второй множитель: $27^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^4)^2 = 729x^{-4}y^8$.
Перемножим результаты: $(\frac{25x^6}{81y^4}) \cdot (729x^{-4}y^8)$.
Сгруппируем: $(\frac{25 \cdot 729}{81}) \cdot (x^6x^{-4}) \cdot (\frac{y^8}{y^4}) = (25 \cdot 9) \cdot x^{6-4} \cdot y^{8-4} = 225x^2y^4$.
Ответ: $225x^2y^4$

878. Упростите выражение:

1) $(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2;$

2) $\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y};$

3) $\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12}} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{a^{-6} - b^{-12}};$

4) $\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}};$

5) $\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \left(\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}}\right);$

6) $\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}};$

7) $\left(\frac{4c^{-6}}{c^{-6} + 1} - \frac{c^{-6}}{c^{-12} + 2c^{-6} + 1}\right) : \left(\frac{4c^{-6} + 3}{c^{-12} - 1} + \frac{2c^{-6}}{c^{-6} + 1}\right).$

1)

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(a^{-5} - 1)(a^{-5} + 1) - (a^{-5} - 2)^2 = ((a^{-5})^2 - 1^2) - ((a^{-5})^2 - 2 \cdot a^{-5} \cdot 2 + 2^2)$
$= (a^{-10} - 1) - (a^{-10} - 4a^{-5} + 4)$
Теперь раскроем вторые скобки, поменяв знаки:
$a^{-10} - 1 - a^{-10} + 4a^{-5} - 4$
Приведем подобные слагаемые:
$(a^{-10} - a^{-10}) + 4a^{-5} + (-1 - 4) = 4a^{-5} - 5$

Ответ: $4a^{-5} - 5$

2)

Преобразуем степени с отрицательными показателями в дроби:
$\frac{y^{-2} - x^{-2}}{x + y} = \frac{\frac{1}{y^2} - \frac{1}{x^2}}{x+y}$
Приведем дроби в числителе к общему знаменателю $x^2y^2$:
$\frac{\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2}}{x+y}$
Разделим числитель на знаменатель:
$\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2(x+y)}$
Разложим числитель по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2(x+y)}$
Сократим общий множитель $(x+y)$:
$\frac{x-y}{x^2y^2}$

Ответ: $\frac{x-y}{x^2y^2}$

3)

Заметим, что знаменатель первой дроби является полным квадратом, а знаменатель второй дроби — разностью квадратов.
$a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + b^{-12} = (a^{-3})^2 - 2(a^{-3})(b^{-6}) + (b^{-6})^2 = (a^{-3} - b^{-6})^2$
$a^{-6} - b^{-12} = (a^{-3})^2 - (b^{-6})^2 = (a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + b^{-6})$
Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение:
$\frac{a^{-3} - 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2} - \frac{a^{-3} + 3b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})(a^{-3} + b^{-6})}$
Приведем дроби к общему знаменателю $(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})$:
$\frac{(a^{-3} - 3b^{-6})(a^{-3} + b^{-6}) - (a^{-3} + 3b^{-6})(a^{-3} - b^{-6})}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$
Раскроем скобки в числителе:
$(a^{-6} + a^{-3}b^{-6} - 3a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12}) - (a^{-6} - a^{-3}b^{-6} + 3a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12})$
$= (a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12}) - (a^{-6} + 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12})$
$= a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} - 3b^{-12} - a^{-6} - 2a^{-3}b^{-6} + 3b^{-12} = -4a^{-3}b^{-6}$
Таким образом, итоговое выражение:
$\frac{-4a^{-3}b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$

Ответ: $\frac{-4a^{-3}b^{-6}}{(a^{-3} - b^{-6})^2(a^{-3} + b^{-6})}$

4)

Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} : \frac{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}{n^{-2}} = \frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{m^{-4}n^{-6} + n^{-10}}$
В знаменателе второй дроби вынесем общий множитель $n^{-6}$:
$m^{-4}n^{-6} + n^{-10} = n^{-6}(m^{-4} + n^{-4})$
Подставим это в выражение:
$\frac{m^{-4} + n^{-4}}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{n^{-6}(m^{-4} + n^{-4})}$
Сократим общий множитель $(m^{-4} + n^{-4})$:
$\frac{1}{n^{-10}} \cdot \frac{n^{-2}}{n^{-6}} = \frac{n^{-2}}{n^{-10} \cdot n^{-6}} = \frac{n^{-2}}{n^{-16}}$
Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$n^{-2 - (-16)} = n^{-2+16} = n^{14}$

Ответ: $n^{14}$

5)

Сначала упростим выражение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю $x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})$:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} - \frac{x^{-2} + y^{-2}}{x^{-2}} = \frac{(x^{-2})^2 - (x^{-2} + y^{-2})(x^{-2} - y^{-2})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
В числителе используем формулу разности квадратов:
$\frac{x^{-4} - ((x^{-2})^2 - (y^{-2})^2)}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-4} - (x^{-4} - y^{-4})}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{x^{-4} - x^{-4} + y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})} = \frac{y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
Теперь выполним деление:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} : \frac{y^{-4}}{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}$
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$\frac{x^{-2}}{x^{-2} - y^{-2}} \cdot \frac{x^{-2}(x^{-2} - y^{-2})}{y^{-4}}$
Сократим общий множитель $(x^{-2} - y^{-2})$:
$\frac{x^{-2} \cdot x^{-2}}{y^{-4}} = \frac{x^{-4}}{y^{-4}} = (\frac{x}{y})^{-4} = (\frac{y}{x})^4 = \frac{y^4}{x^4}$

Ответ: $\frac{y^4}{x^4}$

6)

Сначала выполним умножение. Разложим числитель первой дроби $x^{-10} - 4$ как разность квадратов: $(x^{-5})^2 - 2^2 = (x^{-5}-2)(x^{-5}+2)$.
$\frac{x^{-10} - 4}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}} = \frac{(x^{-5}-2)(x^{-5}+2)}{x^{-5}} \cdot \frac{1}{x^{-5} + 2} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}}$
Сократим множитель $(x^{-5}+2)$:
$\frac{x^{-5}-2}{x^{-5}} - \frac{x^{-5} + 2}{x^{-5}}$
Теперь выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:
$\frac{(x^{-5}-2) - (x^{-5} + 2)}{x^{-5}} = \frac{x^{-5}-2 - x^{-5} - 2}{x^{-5}} = \frac{-4}{x^{-5}}$
Используем свойство степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$-4 \cdot x^5 = -4x^5$

Ответ: $-4x^5$

7)

Для удобства введем замену $x = c^{-6}$, тогда $x^2 = c^{-12}$. Выражение примет вид:
$(\frac{4x}{x+1} - \frac{x}{x^2 + 2x + 1}) : (\frac{4x+3}{x^2 - 1} + \frac{2x}{x+1})$
Упростим выражение в первой скобке. Заметим, что $x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$.
$\frac{4x}{x+1} - \frac{x}{(x+1)^2} = \frac{4x(x+1) - x}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 4x - x}{(x+1)^2} = \frac{4x^2 + 3x}{(x+1)^2} = \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2}$
Упростим выражение во второй скобке. Заметим, что $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
$\frac{4x+3}{(x-1)(x+1)} + \frac{2x}{x+1} = \frac{4x+3 + 2x(x-1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4x+3 + 2x^2 - 2x}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2-1}$
Теперь выполним деление:
$\frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} : \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2-1} = \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} \cdot \frac{x^2-1}{2x^2 + 2x + 3}$
$= \frac{x(4x+3)}{(x+1)^2} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{2x^2 + 2x + 3}$
Сократим $(x+1)$:
$\frac{x(4x+3)(x-1)}{(x+1)(2x^2 + 2x + 3)}$
Вернемся к исходной переменной $c$, подставив $x = c^{-6}$:
$\frac{c^{-6}(4c^{-6}+3)(c^{-6}-1)}{(c^{-6}+1)(2(c^{-6})^2 + 2c^{-6} + 3)} = \frac{c^{-6}(4c^{-6}+3)(c^{-6}-1)}{(c^{-6}+1)(2c^{-12} + 2c^{-6} + 3)}$

Ответ: $\frac{c^{-6}(c^{-6}-1)(4c^{-6}+3)}{(c^{-6}+1)(2c^{-12}+2c^{-6}+3)}$