Страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

839. Найдите значение выражения:

1) $\frac{3m - n}{m + 2n}$, если $m = -4$, $n = 3$;

2) $\frac{a^2 - 2a}{4a + 2}$, если $a = -0,8$.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{3m - n}{m + 2n}$, подставим в него заданные значения $m = -4$ и $n = 3$.

Сначала вычислим значение числителя:

$3m - n = 3 \cdot (-4) - 3 = -12 - 3 = -15$

Затем вычислим значение знаменателя:

$m + 2n = -4 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2$

Теперь найдём значение дроби, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{-15}{2} = -7,5$

Ответ: $-7,5$.

2) Чтобы найти значение выражения $\frac{a^2 - 2a}{4a + 2}$, подставим в него заданное значение $a = -0,8$.

Сначала вычислим значение числителя:

$a^2 - 2a = (-0,8)^2 - 2 \cdot (-0,8) = 0,64 - (-1,6) = 0,64 + 1,6 = 2,24$

Затем вычислим значение знаменателя:

$4a + 2 = 4 \cdot (-0,8) + 2 = -3,2 + 2 = -1,2$

Теперь найдём значение дроби. Для удобства вычислений избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 100:

$\frac{2,24}{-1,2} = \frac{2,24 \cdot 100}{-1,2 \cdot 100} = \frac{224}{-120}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для чисел 224 и 120 равен 8. Разделим числитель и знаменатель на 8:

$\frac{224 \div 8}{-120 \div 8} = \frac{28}{-15} = -\frac{28}{15}$

Ответ: $-\frac{28}{15}$.

840. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $7b - 11$;

2) $\frac{9}{x}$;

3) $\frac{5}{2 - y}$;

4) $\frac{m - 3}{7}$;

5) $\frac{3 + t}{4 - t}$;

6) $\frac{2x}{x - 1} - \frac{3}{x - 6}$;

7) $\frac{5}{x^8 + 3}$;

8) $\frac{x - 2}{|x| + 7}$;

9) $\frac{4}{x^2 - 25}$;

10) $\frac{3}{|x| - 5}$;

11) $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$;

12) $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$;

13) $\frac{1}{(x - 3)(x - 4)}$;

14) $\frac{x + 8}{(x + 8)(x - 3)}$?

1) Выражение $7b - 11$ является многочленом. Многочлены имеют смысл при любых значениях переменной, так как для их вычисления выполняются только операции умножения, вычитания и сложения, которые определены для всех действительных чисел. Ограничений на переменную $b$ нет.
Ответ: $b$ - любое число.

2) Выражение $\frac{9}{x}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$. Следовательно, $x \ne 0$.
Ответ: все числа, кроме 0.

3) Выражение $\frac{5}{2-y}$ является дробью. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому $2 - y \ne 0$. Решая это неравенство, получаем $y \ne 2$.
Ответ: все числа, кроме 2.

4) Выражение $\frac{m - 3}{7}$ является дробью, знаменатель которой — число 7. Так как знаменатель является константой и не равен нулю ($7 \ne 0$), выражение имеет смысл при любых значениях переменной $m$.
Ответ: $m$ - любое число.

5) Выражение $\frac{3+t}{4-t}$ является дробью. Чтобы выражение имело смысл, его знаменатель не должен равняться нулю. Значит, $4 - t \ne 0$, откуда следует, что $t \ne 4$.
Ответ: все числа, кроме 4.

6) Выражение $\frac{2x}{x-1} - \frac{3}{x-6}$ представляет собой разность двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Для первой дроби: $x - 1 \ne 0$, следовательно, $x \ne 1$. Для второй дроби: $x - 6 \ne 0$, следовательно, $x \ne 6$. Оба условия должны выполняться одновременно.
Ответ: все числа, кроме 1 и 6.

7) В выражении $\frac{5}{x^8 + 3}$ знаменатель равен $x^8 + 3$. Переменная $x$ в четной степени ($x^8$) всегда неотрицательна, то есть $x^8 \ge 0$. Поэтому $x^8 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Так как знаменатель всегда больше или равен 3, он никогда не равен нулю. Выражение имеет смысл при любых $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

8) В выражении $\frac{x-2}{|x|+7}$ знаменатель равен $|x| + 7$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| + 7 \ge 0 + 7 = 7$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю. Выражение имеет смысл при любых $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

9) В выражении $\frac{4}{x^2 - 25}$ знаменатель $x^2 - 25$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $x^2 - 25 = 0$. Это разность квадратов: $(x-5)(x+5)=0$. Корни уравнения: $x=5$ и $x=-5$. Значит, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 5 и -5.
Ответ: все числа, кроме 5 и -5.

10) В выражении $\frac{3}{|x| - 5}$ знаменатель $|x| - 5$ не должен быть равен нулю. То есть, $|x| - 5 \ne 0$, или $|x| \ne 5$. Это условие выполняется, когда $x \ne 5$ и $x \ne -5$.
Ответ: все числа, кроме 5 и -5.

11) Выражение $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$ является многоэтажной дробью. Для того чтобы оно имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели в выражении не были равны нулю. 1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{4}{x}$: $x \ne 0$. 2. Знаменатель основной дроби $8 + \frac{4}{x}$: $8 + \frac{4}{x} \ne 0$. Решим это: $\frac{4}{x} \ne -8$, откуда $x \ne \frac{4}{-8}$, то есть $x \ne -\frac{1}{2}$. Оба условия должны выполняться.
Ответ: все числа, кроме 0 и $-\frac{1}{2}$.

12) Выражение $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$ является многоэтажной дробью. Ограничения накладываются на все знаменатели. 1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{2}{x}$: $x \ne 0$. 2. Знаменатель основной дроби $6 - \frac{2}{x}$: $6 - \frac{2}{x} \ne 0$. Решим это: $6 \ne \frac{2}{x}$, откуда $6x \ne 2$, то есть $x \ne \frac{2}{6}$ или $x \ne \frac{1}{3}$. Оба условия должны выполняться.
Ответ: все числа, кроме 0 и $\frac{1}{3}$.

13) В выражении $\frac{1}{(x-3)(x-4)}$ знаменатель $(x-3)(x-4)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому, чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы $x-3 \ne 0$ и $x-4 \ne 0$. Отсюда $x \ne 3$ и $x \ne 4$.
Ответ: все числа, кроме 3 и 4.

14) В выражении $\frac{x+8}{(x+8)(x-3)}$ знаменатель $(x+8)(x-3)$ не должен быть равен нулю. Несмотря на то, что множитель $(x+8)$ есть и в числителе, область допустимых значений определяется по исходному виду выражения. Произведение в знаменателе не равно нулю, если $x+8 \ne 0$ и $x-3 \ne 0$. Следовательно, $x \ne -8$ и $x \ne 3$.
Ответ: все числа, кроме -8 и 3.

841. Сократите дробь:

1) $\frac{8a^2c^3}{4a^3c^2};$

2) $\frac{25mn^2}{75m^8n};$

3) $\frac{60a^3bc^2d^5}{18a^4b^2c^6d};$

4) $\frac{42x^8y^9}{14x^6y^3}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{8a^2c^3}{4a^3c^2}$, мы разделим коэффициенты и сократим степени переменных с одинаковыми основаниями, вычитая показатели степеней (показатель в знаменателе из показателя в числителе).

Сначала разделим числовые коэффициенты: $8 \div 4 = 2$.

Затем сократим переменные. Для переменной $a$: $\frac{a^2}{a^3} = a^{2-3} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Для переменной $c$: $\frac{c^3}{c^2} = c^{3-2} = c^1 = c$.

Теперь объединим все части: $2 \cdot \frac{1}{a} \cdot c = \frac{2c}{a}$.

Ответ: $\frac{2c}{a}$

2) Сократим дробь $\frac{25mn^2}{75m^8n}$.

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{25}{75} = \frac{1}{3}$, так как наибольший общий делитель чисел 25 и 75 равен 25.

Сократим степени переменной $m$: $\frac{m}{m^8} = \frac{m^1}{m^8} = m^{1-8} = m^{-7} = \frac{1}{m^7}$.

Сократим степени переменной $n$: $\frac{n^2}{n} = \frac{n^2}{n^1} = n^{2-1} = n^1 = n$.

Объединяем полученные результаты: $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{m^7} \cdot n = \frac{n}{3m^7}$.

Ответ: $\frac{n}{3m^7}$

3) Сократим дробь $\frac{60a^3bc^2d^5}{18a^4b^2c^6d}$.

Сократим числовые коэффициенты: $\frac{60}{18}$. Наибольший общий делитель чисел 60 и 18 равен 6. $\frac{60 \div 6}{18 \div 6} = \frac{10}{3}$.

Сократим переменные:

Для $a$: $\frac{a^3}{a^4} = a^{3-4} = a^{-1} = \frac{1}{a}$.

Для $b$: $\frac{b}{b^2} = \frac{b^1}{b^2} = b^{1-2} = b^{-1} = \frac{1}{b}$.

Для $c$: $\frac{c^2}{c^6} = c^{2-6} = c^{-4} = \frac{1}{c^4}$.

Для $d$: $\frac{d^5}{d} = \frac{d^5}{d^1} = d^{5-1} = d^4$.

Собираем все вместе: $\frac{10}{3} \cdot \frac{1}{a} \cdot \frac{1}{b} \cdot \frac{1}{c^4} \cdot d^4 = \frac{10d^4}{3abc^4}$.

Ответ: $\frac{10d^4}{3abc^4}$

4) Сократим дробь $\frac{42x^8y^9}{14x^6y^3}$.

Разделим коэффициенты: $42 \div 14 = 3$.

Сократим степени переменной $x$: $\frac{x^8}{x^6} = x^{8-6} = x^2$.

Сократим степени переменной $y$: $\frac{y^9}{y^3} = y^{9-3} = y^6$.

Объединяем результаты: $3 \cdot x^2 \cdot y^6 = 3x^2y^6$.

Ответ: $3x^2y^6$

842. Представьте частное в виде дроби и сократите полученную дробь:

1) $4mn^2p : (28m^2np^6);$

2) $-30x^5y^3 : (36x^4y^8);$

3) $-63xy^9 : (-72xy^7).$

1) Чтобы представить частное $4mn^2p : (28m^2np^6)$ в виде дроби, нужно записать делимое в числитель, а делитель — в знаменатель. Затем необходимо сократить полученную дробь.

Запишем частное в виде дроби:

$\frac{4mn^2p}{28m^2np^6}$

Теперь сократим дробь. Для этого сократим числовые коэффициенты и степени каждой переменной отдельно.

Сокращаем коэффициенты 4 и 28 на их наибольший общий делитель, равный 4:

$\frac{4}{28} = \frac{1}{7}$

Сокращаем переменные, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^m} = a^{k-m}$:

$\frac{m}{m^2} = m^{1-2} = m^{-1} = \frac{1}{m}$

$\frac{n^2}{n} = n^{2-1} = n^1 = n$

$\frac{p}{p^6} = p^{1-6} = p^{-5} = \frac{1}{p^5}$

Объединим полученные результаты:

$\frac{1 \cdot n}{7 \cdot m \cdot p^5} = \frac{n}{7mp^5}$

Ответ: $\frac{n}{7mp^5}$

2) Представим частное $-30x^5y^3 : (36x^4y^8)$ в виде дроби:

$\frac{-30x^5y^3}{36x^4y^8}$

Сократим числовые коэффициенты -30 и 36. Их наибольший общий делитель равен 6:

$\frac{-30}{36} = -\frac{30 \div 6}{36 \div 6} = -\frac{5}{6}$

Сокращаем переменные:

$\frac{x^5}{x^4} = x^{5-4} = x^1 = x$

$\frac{y^3}{y^8} = y^{3-8} = y^{-5} = \frac{1}{y^5}$

Объединим полученные результаты:

$-\frac{5 \cdot x}{6 \cdot y^5} = -\frac{5x}{6y^5}$

Ответ: $-\frac{5x}{6y^5}$

3) Представим частное $-63xy^9 : (-72xy^7)$ в виде дроби:

$\frac{-63xy^9}{-72xy^7}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Сократим числовые коэффициенты 63 и 72. Их наибольший общий делитель равен 9:

$\frac{63}{72} = \frac{63 \div 9}{72 \div 9} = \frac{7}{8}$

Сокращаем переменные:

$\frac{x}{x} = x^{1-1} = x^0 = 1$

$\frac{y^9}{y^7} = y^{9-7} = y^2$

Объединим полученные результаты:

$\frac{7 \cdot 1 \cdot y^2}{8} = \frac{7y^2}{8}$

Ответ: $\frac{7y^2}{8}$

843. Сократите дробь:

1) $\frac{3x - 6y}{3x};$

2) $\frac{3a + 9b}{4a + 12b};$

3) $\frac{a^2 - 49}{3a + 21};$

4) $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x};$

5) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9};$

6) $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5};$

7) $\frac{a^3 + 64}{3a + 12};$

8) $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25};$

9) $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14};$

10) $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2};$

11) $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2};$

12) $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}.$

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3x - 6y}{3x}$, вынесем общий множитель 3 в числителе:
$\frac{3(x - 2y)}{3x}$
Теперь сократим общий множитель 3 в числителе и знаменателе:
$\frac{x - 2y}{x}$
Ответ: $\frac{x - 2y}{x}$

2) В дроби $\frac{3a + 9b}{4a + 12b}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 3: $3a + 9b = 3(a + 3b)$.
В знаменателе общий множитель 4: $4a + 12b = 4(a + 3b)$.
Получаем дробь: $\frac{3(a + 3b)}{4(a + 3b)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 3b)$:
$\frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 49}{3a + 21}$.
Числитель $a^2 - 49$ является разностью квадратов: $a^2 - 7^2 = (a - 7)(a + 7)$.
В знаменателе $3a + 21$ вынесем общий множитель 3: $3(a + 7)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a - 7)(a + 7)}{3(a + 7)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 7)$:
$\frac{a - 7}{3}$
Ответ: $\frac{a - 7}{3}$

4) В дроби $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x}$ вынесем общие множители.
В числителе $12x^2 - 4x$ выносим $4x$: $4x(3x - 1)$.
В знаменателе $2 - 6x$ выносим $-2$, чтобы получить выражение, схожее с числителем: $-2(-1 + 3x) = -2(3x - 1)$.
Получаем: $\frac{4x(3x - 1)}{-2(3x - 1)}$
Сокращаем на общий множитель $(3x - 1)$ и на 2:
$\frac{4x}{-2} = -2x$
Ответ: $-2x$

5) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$.
Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов: $(x - 3)(x + 3)$.
Знаменатель $x^2 + 6x + 9$ — это квадрат суммы: $(x + 3)^2$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2}$
Сокращаем на общий множитель $(x + 3)$:
$\frac{x - 3}{x + 3}$
Ответ: $\frac{x - 3}{x + 3}$

6) В дроби $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5}$ вынесем общие множители.
В числителе выносим $b^4$: $b^4(b^3 + 1)$.
В знаменателе выносим $b^2$: $b^2(1 + b^3)$.
Получаем: $\frac{b^4(b^3 + 1)}{b^2(1 + b^3)}$
Сокращаем на общий множитель $(b^3 + 1)$ и на $b^2$:
$\frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2$
Ответ: $b^2$

7) Рассмотрим дробь $\frac{a^3 + 64}{3a + 12}$.
Числитель $a^3 + 64$ — это сумма кубов: $a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3: $3(a + 4)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + 4)(a^2 - 4a + 16)}{3(a + 4)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 4)$:
$\frac{a^2 - 4a + 16}{3}$
Ответ: $\frac{a^2 - 4a + 16}{3}$

8) В дроби $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25}$ преобразуем числитель методом группировки.
Числитель: $xb - 5y + 5b - xy = (xb + 5b) - (xy + 5y) = b(x + 5) - y(x + 5) = (x + 5)(b - y)$.
Знаменатель $x^2 - 25$ — это разность квадратов: $(x - 5)(x + 5)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x + 5)(b - y)}{(x - 5)(x + 5)}$
Сокращаем на общий множитель $(x + 5)$:
$\frac{b - y}{x - 5}$
Ответ: $\frac{b - y}{x - 5}$

9) Рассмотрим дробь $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14}$.
В числителе вынесем общий множитель 7: $7(m^2 - m + 1)$.
В знаменателе вынесем 14: $14(m^3 + 1)$.
Выражение $m^3 + 1$ — это сумма кубов: $(m + 1)(m^2 - m + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{7(m^2 - m + 1)}{14(m + 1)(m^2 - m + 1)}$
Сокращаем на общий множитель $(m^2 - m + 1)$ и на 7:
$\frac{7}{14(m+1)} = \frac{1}{2(m+1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(m + 1)}$

10) В дроби $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2}$ преобразуем числитель и знаменатель методом группировки.
Числитель: $a^2 + bc - b^2 + ac = (a^2 - b^2) + (ac + bc) = (a - b)(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a - b + c)$.
Знаменатель: $ab + c^2 + ac - b^2 = (c^2 - b^2) + (ab + ac) = (c - b)(c + b) + a(b + c) = (b + c)(c - b + a)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b)(a - b + c)}{(c + b)(a - b + c)}$
Сокращаем на общий множитель $(a - b + c)$:
$\frac{a + b}{c + b}$
Ответ: $\frac{a + b}{c + b}$

11) Рассмотрим дробь $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2}$.
В числителе вынесем общий множитель $5m$: $5m(4n^2 - 4mn + m^2)$.
Выражение в скобках $m^2 - 4mn + 4n^2$ является полным квадратом разности: $(m - 2n)^2$.
Числитель: $5m(m - 2n)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5m$: $5m(2n - m)$.
Дробь принимает вид: $\frac{5m(m - 2n)^2}{5m(2n - m)}$. Заметим, что $(m - 2n) = -(2n-m)$.
$\frac{5m(m-2n)^2}{-5m(m-2n)} = -(m-2n) = 2n-m$
Сокращаем на $5m$ и на $(m-2n)$:
Ответ: $2n - m$

12) В дроби $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}$ применим метод группировки.
Числитель: $x^2 - yz + xz - y^2 = (x^2 - y^2) + (xz - yz) = (x - y)(x + y) + z(x - y) = (x - y)(x + y + z)$.
Знаменатель: $x^2 + yz - xz - y^2 = (x^2 - y^2) - (xz - yz) = (x - y)(x + y) - z(x - y) = (x - y)(x + y - z)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x - y)(x + y + z)}{(x - y)(x + y - z)}$
Сокращаем на общий множитель $(x - y)$:
$\frac{x + y + z}{x + y - z}$
Ответ: $\frac{x + y + z}{x + y - z}$

844. Найдите значение выражения:

1) $\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7}$, если $x = -0,2$, $y = 0,5$;

2) $\frac{4a^2 - 36}{5a^2 - 30a + 45}$, если $a = 2$;

3) $\frac{(3a + 3b)^2}{3a^2 - 3b^2}$, если $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{6}$;

4) $\frac{20x^2 - 140xy + 245y^2}{4x - 14y}$, если $2x - 7y = -0,5.$

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого вынесем в числителе общий множитель $x^3y^7$ за скобки:

$\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7} = \frac{x^3y^7(x^2 - y^2)}{x^3y^7}$

Теперь сократим дробь на $x^3y^7$ (это возможно, так как по условию $x \neq 0$ и $y \neq 0$):

$x^2 - y^2$

Подставим в полученное выражение значения $x = -0,2$ и $y = 0,5$:

$(-0,2)^2 - (0,5)^2 = 0,04 - 0,25 = -0,21$

Ответ: -0,21

2) Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 4 и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4a^2 - 36 = 4(a^2 - 9) = 4(a-3)(a+3)$

В знаменателе вынесем общий множитель 5 и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$5a^2 - 30a + 45 = 5(a^2 - 6a + 9) = 5(a-3)^2$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $(a-3)$ (это возможно, так как $a=2$, следовательно $a-3 \neq 0$):

$\frac{4(a-3)(a+3)}{5(a-3)^2} = \frac{4(a+3)}{5(a-3)}$

Подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:

$\frac{4(2+3)}{5(2-3)} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot (-1)} = \frac{20}{-5} = -4$

Ответ: -4

3) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 из скобок:

$(3a + 3b)^2 = (3(a+b))^2 = 9(a+b)^2$

В знаменателе вынесем общий множитель 3 и применим формулу разности квадратов:

$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) = 3(a-b)(a+b)$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $3(a+b)$ (это возможно, так как $a+b = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \neq 0$):

$\frac{9(a+b)^2}{3(a-b)(a+b)} = \frac{3(a+b)}{a-b}$

Теперь найдем значения выражений $a+b$ и $a-b$ при $a = \frac{1}{3}$ и $b = -\frac{1}{6}$:

$a+b = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

$a-b = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

Ответ: 1

4) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 5 и заметим, что выражение в скобках является полным квадратом разности $(2x-7y)^2$:

$20x^2 - 140xy + 245y^2 = 5(4x^2 - 28xy + 49y^2) = 5((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7y + (7y)^2) = 5(2x-7y)^2$

В знаменателе вынесем общий множитель 2:

$4x - 14y = 2(2x-7y)$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $(2x-7y)$ (это возможно, так как по условию $2x-7y = -0,5 \neq 0$):

$\frac{5(2x-7y)^2}{2(2x-7y)} = \frac{5(2x-7y)}{2}$

Теперь подставим известное значение $2x - 7y = -0,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{5 \cdot (-0,5)}{2} = \frac{-2,5}{2} = -1,25$

Ответ: -1,25