Номер 840, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 840, страница 215.

Условие.

840. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:

1) $7b - 11$;

2) $\frac{9}{x}$;

3) $\frac{5}{2 - y}$;

4) $\frac{m - 3}{7}$;

5) $\frac{3 + t}{4 - t}$;

6) $\frac{2x}{x - 1} - \frac{3}{x - 6}$;

7) $\frac{5}{x^8 + 3}$;

8) $\frac{x - 2}{|x| + 7}$;

9) $\frac{4}{x^2 - 25}$;

10) $\frac{3}{|x| - 5}$;

11) $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$;

12) $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$;

13) $\frac{1}{(x - 3)(x - 4)}$;

14) $\frac{x + 8}{(x + 8)(x - 3)}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выражение $7b - 11$ является многочленом. Многочлены имеют смысл при любых значениях переменной, так как для их вычисления выполняются только операции умножения, вычитания и сложения, которые определены для всех действительных чисел. Ограничений на переменную $b$ нет.
Ответ: $b$ - любое число.

2) Выражение $\frac{9}{x}$ является дробью. Дробное выражение имеет смысл только тогда, когда его знаменатель не равен нулю. В данном случае знаменатель равен $x$. Следовательно, $x \ne 0$.
Ответ: все числа, кроме 0.

3) Выражение $\frac{5}{2-y}$ является дробью. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. Поэтому $2 - y \ne 0$. Решая это неравенство, получаем $y \ne 2$.
Ответ: все числа, кроме 2.

4) Выражение $\frac{m - 3}{7}$ является дробью, знаменатель которой — число 7. Так как знаменатель является константой и не равен нулю ($7 \ne 0$), выражение имеет смысл при любых значениях переменной $m$.
Ответ: $m$ - любое число.

5) Выражение $\frac{3+t}{4-t}$ является дробью. Чтобы выражение имело смысл, его знаменатель не должен равняться нулю. Значит, $4 - t \ne 0$, откуда следует, что $t \ne 4$.
Ответ: все числа, кроме 4.

6) Выражение $\frac{2x}{x-1} - \frac{3}{x-6}$ представляет собой разность двух дробей. Оно имеет смысл, когда знаменатель каждой из дробей не равен нулю. Для первой дроби: $x - 1 \ne 0$, следовательно, $x \ne 1$. Для второй дроби: $x - 6 \ne 0$, следовательно, $x \ne 6$. Оба условия должны выполняться одновременно.
Ответ: все числа, кроме 1 и 6.

7) В выражении $\frac{5}{x^8 + 3}$ знаменатель равен $x^8 + 3$. Переменная $x$ в четной степени ($x^8$) всегда неотрицательна, то есть $x^8 \ge 0$. Поэтому $x^8 + 3 \ge 0 + 3 = 3$. Так как знаменатель всегда больше или равен 3, он никогда не равен нулю. Выражение имеет смысл при любых $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

8) В выражении $\frac{x-2}{|x|+7}$ знаменатель равен $|x| + 7$. Модуль числа $|x|$ всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Следовательно, $|x| + 7 \ge 0 + 7 = 7$. Знаменатель всегда положителен и никогда не равен нулю. Выражение имеет смысл при любых $x$.
Ответ: $x$ - любое число.

9) В выражении $\frac{4}{x^2 - 25}$ знаменатель $x^2 - 25$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $x^2 - 25 = 0$. Это разность квадратов: $(x-5)(x+5)=0$. Корни уравнения: $x=5$ и $x=-5$. Значит, выражение имеет смысл при всех значениях $x$, кроме 5 и -5.
Ответ: все числа, кроме 5 и -5.

10) В выражении $\frac{3}{|x| - 5}$ знаменатель $|x| - 5$ не должен быть равен нулю. То есть, $|x| - 5 \ne 0$, или $|x| \ne 5$. Это условие выполняется, когда $x \ne 5$ и $x \ne -5$.
Ответ: все числа, кроме 5 и -5.

11) Выражение $\frac{x}{8 + \frac{4}{x}}$ является многоэтажной дробью. Для того чтобы оно имело смысл, необходимо, чтобы все знаменатели в выражении не были равны нулю. 1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{4}{x}$: $x \ne 0$. 2. Знаменатель основной дроби $8 + \frac{4}{x}$: $8 + \frac{4}{x} \ne 0$. Решим это: $\frac{4}{x} \ne -8$, откуда $x \ne \frac{4}{-8}$, то есть $x \ne -\frac{1}{2}$. Оба условия должны выполняться.
Ответ: все числа, кроме 0 и $-\frac{1}{2}$.

12) Выражение $\frac{5}{6 - \frac{2}{x}}$ является многоэтажной дробью. Ограничения накладываются на все знаменатели. 1. Знаменатель внутренней дроби $\frac{2}{x}$: $x \ne 0$. 2. Знаменатель основной дроби $6 - \frac{2}{x}$: $6 - \frac{2}{x} \ne 0$. Решим это: $6 \ne \frac{2}{x}$, откуда $6x \ne 2$, то есть $x \ne \frac{2}{6}$ или $x \ne \frac{1}{3}$. Оба условия должны выполняться.
Ответ: все числа, кроме 0 и $\frac{1}{3}$.

13) В выражении $\frac{1}{(x-3)(x-4)}$ знаменатель $(x-3)(x-4)$ не должен быть равен нулю. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому, чтобы знаменатель не был равен нулю, необходимо, чтобы $x-3 \ne 0$ и $x-4 \ne 0$. Отсюда $x \ne 3$ и $x \ne 4$.
Ответ: все числа, кроме 3 и 4.

14) В выражении $\frac{x+8}{(x+8)(x-3)}$ знаменатель $(x+8)(x-3)$ не должен быть равен нулю. Несмотря на то, что множитель $(x+8)$ есть и в числителе, область допустимых значений определяется по исходному виду выражения. Произведение в знаменателе не равно нулю, если $x+8 \ne 0$ и $x-3 \ne 0$. Следовательно, $x \ne -8$ и $x \ne 3$.
Ответ: все числа, кроме -8 и 3.