Номер 7, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 7, страница 211.

Условие.

7. Решите уравнение $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.

А) -2

Б) 3

В) -2; 3

Г) -3; 2

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение является рациональным: $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое число, кроме 3.

2. Решение уравнения

Поскольку дроби в левой и правой частях уравнения имеют одинаковые знаменатели, мы можем приравнять их числители, при условии, что решение будет удовлетворять ОДЗ.

$x^2 - 6 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. В нашем случае $p = -1$ и $q = -6$.

Следовательно, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Методом подбора находим, что этими числами являются $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

3. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений ($x \neq 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x=3$ — это посторонний корень.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 \neq 3$.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: -2