Номер 2, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 211.

Условие.

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен $-x^2 - 4x + 5$.

А) $(x - 1)(x + 5)$

Б) $(x + 1)(x - 5)$

В) $-(x - 1)(x + 5)$

Г) $-(x + 1)(x - 5)$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 1: Нахождение корней уравнения

Рассмотрим исходный трёхчлен: $-x^2 - 4x + 5$.

Составим квадратное уравнение, приравняв трёхчлен к нулю:

$-x^2 - 4x + 5 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на $-1$:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Теперь найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, корни квадратного трёхчлена равны $1$ и $-5$.

Шаг 2: Разложение на множители

Теперь применим формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Важно помнить, что коэффициент $a$ берётся из исходного трёхчлена $-x^2 - 4x + 5$, то есть $a = -1$.

Подставим найденные значения $a = -1$, $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$ в формулу:

$-1 \cdot (x - 1)(x - (-5))$

Упростим полученное выражение:

$-(x - 1)(x + 5)$

Это и есть разложение исходного квадратного трёхчлена на множители. Сравнив результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом В.

Проверка:

Для уверенности можно раскрыть скобки в полученном ответе:

$-(x - 1)(x + 5) = -(x^2 + 5x - x - 5) = -(x^2 + 4x - 5) = -x^2 - 4x + 5$

Результат полностью совпадает с исходным выражением.

Ответ: В) $-(x - 1)(x + 5)$