Номер 3, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме - номер 3, страница 211.

Условие.

3. Сократите дробь $ \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} $.

А) $ \frac{x + 4}{x - 2} $

Б) $ \frac{x - 4}{x - 2} $

В) $ \frac{x + 4}{x + 2} $

Г) $ \frac{x - 4}{x + 2} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 + 7x + 12$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Следовательно, разложение числителя на множители: $x^2 + 7x + 12 = (x - (-4))(x - (-3)) = (x+4)(x+3)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 + x - 6$. Решим уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, разложение знаменателя на множители: $x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:

$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} = \frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)(x-2)}$

Сокращаем общий множитель $(x+3)$ (при условии, что $x \neq -3$):

$\frac{(x+4)\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+3)}} = \frac{x+4}{x-2}$

Полученный результат соответствует варианту А).

Ответ: A) $\frac{x+4}{x-2}$