Номер 2, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Элементы математической логики. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 2, страница 210.

Условие.

2. Даны два высказывания:

$A = \{5 < 6\}, B = \{6 - \text{простое число}\}$.

Определите, истинным или ложным является высказывание:

1) $A \land B;$

2) $A \lor B;$

3) $A \Rightarrow B;$

4) $A \Leftrightarrow B;$

5) $\overline{A};$

6) $\overline{B}.$

Решение 1.

Решение 8.

Для начала определим истинность исходных высказываний A и B.

Высказывание A: $5 < 6$. Это неравенство верное, следовательно, высказывание A является истинным. Обозначим истину как 1. Итак, $A = 1$.

Высказывание B: «6 – простое число». Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: 1 и самого себя. Число 6 имеет делители 1, 2, 3, 6. Так как у него больше двух делителей, оно является составным, а не простым. Следовательно, высказывание B является ложным. Обозначим ложь как 0. Итак, $B = 0$.

Теперь определим истинность или ложность каждого из предложенных высказываний, используя значения $A = 1$ и $B = 0$.

1) $A \wedge B$

Это операция конъюнкции (логическое «И»). Высказывание $A \wedge B$ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания, A и B, истинны. В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \wedge 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \wedge B$ является ложным.

Ответ: ложно.

2) $A \vee B$

Это операция дизъюнкции (логическое «ИЛИ»). Высказывание $A \vee B$ истинно, если хотя бы одно из высказываний, A или B, истинно. В нашем случае A истинно ($1$).

$1 \vee 0 = 1$ (Истина).

Следовательно, высказывание $A \vee B$ является истинным.

Ответ: истинно.

3) $A \Rightarrow B$

Это операция импликации (логическое следование). Высказывание $A \Rightarrow B$ ложно тогда и только тогда, когда из истинного высказывания A следует ложное высказывание B. В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \Rightarrow 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \Rightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложно.

4) $A \Leftrightarrow B$

Это операция эквиваленции (равнозначности). Высказывание $A \Leftrightarrow B$ истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания, A и B, имеют одинаковую истинность (оба истинны или оба ложны). В нашем случае A истинно ($1$), а B ложно ($0$).

$1 \Leftrightarrow 0 = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $A \Leftrightarrow B$ является ложным.

Ответ: ложно.

5) $\bar{A}$

Это операция отрицания (логическое «НЕ»). Высказывание $\bar{A}$ имеет противоположное значение истинности высказыванию A. Так как A истинно ($1$), его отрицание будет ложным.

$\bar{1} = 0$ (Ложь).

Следовательно, высказывание $\bar{A}$ является ложным.

Ответ: ложно.

6) $\bar{B}$

Это операция отрицания (логическое «НЕ»). Высказывание $\bar{B}$ имеет противоположное значение истинности высказыванию B. Так как B ложно ($0$), его отрицание будет истинным.

$\bar{0} = 1$ (Истина).

Следовательно, высказывание $\bar{B}$ является истинным.

Ответ: истинно.