Номер 4, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 211.

Условие.

4. Решите уравнение $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$.

А) -3; 3

Б) $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$

В) -3; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$; 3

Г) $\sqrt{2}$; 3

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 + 7t - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = -9$ не удовлетворяет этому условию ($ -9 < 0 $), следовательно, он является посторонним.
Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет условию ($ 2 \ge 0 $).
Выполним обратную замену для $t_2 = 2$:
$x^2 = 2$
Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt{2}$
$x_2 = -\sqrt{2}$
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под буквой Б).
Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.