Номер 8, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме - номер 8, страница 211.

Условие.

8. Решите уравнение $\frac{3x-1}{x} - \frac{4}{x-2} = \frac{10-9x}{x^2-2x}$

А) $-\frac{4}{3}; 2$

Б) $\frac{4}{3}; -2$

В) $-\frac{4}{3}$

Г) $2$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

$\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$

Из первого знаменателя: $x \neq 0$.

Из второго знаменателя: $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Третий знаменатель $x^2 - 2x$ можно разложить на множители: $x(x-2)$. Условие $x(x-2) \neq 0$ дает те же ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Привести уравнение к общему знаменателю и решить его

Общий знаменатель для всех дробей в уравнении - это $x(x - 2)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$(3x - 1)(x - 2) - 4 \cdot x = 10 - 9x$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$3x^2 - 6x - x + 2 - 4x = 10 - 9x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 11x + 2 = 10 - 9x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 11x + 9x + 2 - 10 = 0$

$3x^2 - 2x - 8 = 0$

3. Решить квадратное уравнение

Решим уравнение $3x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

4. Проверить корни на соответствие ОДЗ

Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ($2$ и $-\frac{4}{3}$) области допустимых значений ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен ни 0, ни 2.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-\frac{4}{3}$