Номер 12, страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме - номер 12, страница 212.

Условие.

12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причём первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго.

Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за $x$ ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

А) $ \frac{15}{x} + \frac{15}{10 - x} = 1 $

Б) $ \frac{15}{x} + \frac{15}{x - 10} = 1 $

В) $ \frac{10}{x} + \frac{10}{x + 15} = 1 $

Г) $ \frac{10}{x} + \frac{10}{x - 15} = 1 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 6.

Решение 8.

Для решения этой задачи давайте введем переменные и определим производительность каждого рабочего.

1. Определение переменных и производительности.

Пусть весь объем производственного задания равен 1.

• Согласно условию, время, за которое первый рабочий может выполнить все задание самостоятельно, составляет $x$ часов.
• Производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.
• Сказано, что первый рабочий выполняет задание на 15 часов быстрее второго. Это означает, что второй рабочий тратит на 15 часов больше времени. Таким образом, время выполнения задания вторым рабочим составляет $(x + 15)$ часов.
• Производительность второго рабочего равна $P_2 = \frac{1}{x + 15}$.

2. Составление уравнения на основе совместной работы.

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15}$

По условию, работая вместе, они выполняют все задание (равное 1) за 10 часов. Объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время работы:

Работа = $P_{общ} \times Время$

$1 = (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15}) \times 10$

3. Преобразование уравнения и выбор ответа.

Теперь преобразуем полученное уравнение. Умножим обе части выражения в скобках на 10:

$\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$

Это уравнение является математической моделью данной ситуации. Оно означает, что доля работы, выполненная первым рабочим за 10 часов ($\frac{10}{x}$), плюс доля работы, выполненная вторым рабочим за 10 часов ($\frac{10}{x+15}$), в сумме дают всю выполненную работу, то есть 1.

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:

• А) $\frac{15}{x} + \frac{15}{10-x} = 1$
• Б) $\frac{15}{x} + \frac{15}{x-10} = 1$
• В) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$
• Г) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x-15} = 1$

Наше уравнение $\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$ в точности совпадает с вариантом В.

Ответ: В