Страница 212 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

10. Катер прошёл 30 км по течению реки и вернулся обратно, затратив на весь путь 3 ч 10 мин. Скорость течения реки равна 1 км/ч. Пусть собственная скорость катера составляет x км/ч. Какое из уравнений соответствует условию задачи?

A) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3,1$

B) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x} = 3\frac{1}{6}$

Б) $\frac{30}{x+1} - \frac{30}{x-1} = 3,1$

Г) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3\frac{1}{6}$

Для решения задачи необходимо составить уравнение, описывающее движение катера. Давайте разберем все компоненты задачи по шагам.

1. Определение скоростей.

Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч, как указано в условии. Скорость течения реки равна $1$ км/ч.

• Когда катер идет по течению, течение помогает ему, и его скорость складывается из собственной скорости и скорости течения. Скорость по течению: $(x + 1)$ км/ч.
• Когда катер идет против течения, течение мешает ему, и его скорость равна разности собственной скорости и скорости течения. Скорость против течения: $(x - 1)$ км/ч.

2. Определение времени в пути.

Расстояние в одну сторону составляет $30$ км. Время движения вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

• Время, затраченное на путь по течению: $t_1 = \frac{30}{x+1}$ ч.
• Время, затраченное на путь против течения: $t_2 = \frac{30}{x-1}$ ч.

3. Расчет общего времени.

Общее время, затраченное на весь путь (туда и обратно), складывается из времени движения по течению и времени движения против течения: $t_{общ} = t_1 + t_2$.

По условию, общее время составляет 3 ч 10 мин. Необходимо перевести это время в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы.

В одном часе 60 минут, поэтому 10 минут — это $\frac{10}{60}$ часа, что равно $\frac{1}{6}$ часа.

Таким образом, общее время в часах: $t_{общ} = 3 + \frac{1}{6} = 3\frac{1}{6}$ ч.

4. Составление уравнения.

Теперь приравняем сумму времени, затраченного на путь в обе стороны, к общему времени в пути:

$\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3\frac{1}{6}$

5. Сравнение с предложенными вариантами.

Сравним полученное уравнение с вариантами ответа:

• А) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3,1$ — неверно, так как $3$ ч $10$ мин это не $3,1$ часа.
• Б) $\frac{30}{x+1} - \frac{30}{x-1} = 3,1$ — неверно, так как время складывается, а не вычитается, и общее время указано неверно.
• В) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x} = 3\frac{1}{6}$ — неверно, так как скорость против течения равна $(x-1)$, а не $x$.
• Г) $\frac{30}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 3\frac{1}{6}$ — верно. Это уравнение полностью соответствует условию задачи.

Ответ: Уравнение, соответствующее условию задачи, находится под буквой Г).

11. Рабочий должен был за некоторое время изготовить 96 деталей. Ежедневно он изготавливал на 2 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока.

Пусть рабочий изготавливал ежедневно x деталей. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

А) $ \frac{96}{x} - \frac{96}{x-2} = 3 $

Б) $ \frac{96}{x-2} - \frac{96}{x} = 3 $

В) $ \frac{96}{x} - \frac{96}{x-3} = 2 $

Г) $ \frac{96}{x-3} - \frac{96}{x} = 2 $

Для того чтобы определить, какое из уравнений является правильной математической моделью, давайте последовательно разберем условие задачи.

1. Определим переменные и их связь.

• Общее количество деталей, которое необходимо изготовить: 96.
• По условию, пусть $x$ — это количество деталей, которое рабочий изготавливал ежедневно фактически. Это фактическая производительность.
• В условии сказано, что рабочий ежедневно изготавливал на 2 детали больше, чем планировал. Следовательно, планируемая производительность была на 2 детали меньше фактической, то есть $(x - 2)$ деталей в день.

2. Выразим время, необходимое для выполнения работы.

Время выполнения работы находится по формуле: $Время = \frac{Общий объем работы}{Производительность}$.

• Время, которое рабочий должен был потратить по плану: $T_{план} = \frac{96}{x-2}$ дней.
• Время, которое рабочий потратил фактически: $T_{факт} = \frac{96}{x}$ дней.

3. Составим уравнение на основе разницы во времени.

Рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока. Это означает, что плановое время было на 3 дня больше, чем фактическое время.

$T_{план} - T_{факт} = 3$

Теперь подставим в это равенство выражения для времени, которые мы получили на предыдущем шаге:

$\frac{96}{x-2} - \frac{96}{x} = 3$

4. Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами.

А) $\frac{96}{x} - \frac{96}{x-2} = 3$. Это уравнение неверно, так как из фактического времени (меньшего) вычитается плановое (большее), что привело бы к отрицательному результату, а не к 3. Это противоречит условию.

Б) $\frac{96}{x-2} - \frac{96}{x} = 3$. Это уравнение полностью совпадает с тем, которое мы вывели. Оно правильно отражает, что плановое время на 3 дня больше фактического.

В) $\frac{96}{x} - \frac{96}{x-3} = 2$. Это уравнение неверно, так как в нем неправильно указаны и разница в производительности (использовано 3 вместо 2), и разница во времени (использовано 2 вместо 3).

Г) $\frac{96}{x-3} - \frac{96}{x} = 2$. Здесь, как и в предыдущем варианте, числовые данные из условия задачи перепутаны.

Таким образом, единственное уравнение, которое корректно описывает ситуацию, — это уравнение из пункта Б.

Ответ: Б

12. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить некоторое производственное задание за 10 ч, причём первый из них может выполнить это задание самостоятельно на 15 ч быстрее второго.

Пусть первый рабочий может выполнить самостоятельно задание за $x$ ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

А) $ \frac{15}{x} + \frac{15}{10 - x} = 1 $

Б) $ \frac{15}{x} + \frac{15}{x - 10} = 1 $

В) $ \frac{10}{x} + \frac{10}{x + 15} = 1 $

Г) $ \frac{10}{x} + \frac{10}{x - 15} = 1 $

Для решения этой задачи давайте введем переменные и определим производительность каждого рабочего.

1. Определение переменных и производительности.

Пусть весь объем производственного задания равен 1.

• Согласно условию, время, за которое первый рабочий может выполнить все задание самостоятельно, составляет $x$ часов.
• Производительность первого рабочего (часть работы, выполняемая за 1 час) равна $P_1 = \frac{1}{x}$.
• Сказано, что первый рабочий выполняет задание на 15 часов быстрее второго. Это означает, что второй рабочий тратит на 15 часов больше времени. Таким образом, время выполнения задания вторым рабочим составляет $(x + 15)$ часов.
• Производительность второго рабочего равна $P_2 = \frac{1}{x + 15}$.

2. Составление уравнения на основе совместной работы.

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна:

$P_{общ} = P_1 + P_2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{x+15}$

По условию, работая вместе, они выполняют все задание (равное 1) за 10 часов. Объем выполненной работы равен произведению совместной производительности на время работы:

Работа = $P_{общ} \times Время$

$1 = (\frac{1}{x} + \frac{1}{x+15}) \times 10$

3. Преобразование уравнения и выбор ответа.

Теперь преобразуем полученное уравнение. Умножим обе части выражения в скобках на 10:

$\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$

Это уравнение является математической моделью данной ситуации. Оно означает, что доля работы, выполненная первым рабочим за 10 часов ($\frac{10}{x}$), плюс доля работы, выполненная вторым рабочим за 10 часов ($\frac{10}{x+15}$), в сумме дают всю выполненную работу, то есть 1.

Сравним полученное уравнение с предложенными вариантами:

• А) $\frac{15}{x} + \frac{15}{10-x} = 1$
• Б) $\frac{15}{x} + \frac{15}{x-10} = 1$
• В) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$
• Г) $\frac{10}{x} + \frac{10}{x-15} = 1$

Наше уравнение $\frac{10}{x} + \frac{10}{x+15} = 1$ в точности совпадает с вариантом В.

Ответ: В