Страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

851. Докажите тождество:

$\frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} = 0.$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать левую часть равенства и показать, что она равна нулю. Основной метод — приведение всех дробей к общему знаменателю.

Исходное выражение в левой части:

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{(a-b)(c-b)} + \frac{1}{(a-c)(b-a)} $$

Для удобства приведения к общему знаменателю приведем множители в знаменателях к единому циклическому виду: $(a-b), (b-c), (c-a)$.

Рассмотрим знаменатели каждой дроби:

1. Первая дробь: знаменатель $(b-c)(c-a)$ уже в нужном виде.
2. Вторая дробь: знаменатель $(a-b)(c-b)$. Преобразуем множитель $(c-b) = -(b-c)$. Тогда знаменатель равен $-(a-b)(b-c)$.
3. Третья дробь: знаменатель $(a-c)(b-a)$. Преобразуем оба множителя: $(a-c) = -(c-a)$ и $(b-a) = -(a-b)$. Тогда их произведение равно $(-(c-a))(-(a-b)) = (a-b)(c-a)$.

Подставим преобразованные знаменатели обратно в выражение:

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} - \frac{1}{-(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$

Упростим знак второй дроби (минус на минус дает плюс):

$$ \frac{1}{(b-c)(c-a)} + \frac{1}{(a-b)(b-c)} + \frac{1}{(a-b)(c-a)} $$

Теперь приведем все дроби к общему знаменателю, который равен $(a-b)(b-c)(c-a)$.

• Дополнительный множитель для первой дроби: $(a-b)$.
• Дополнительный множитель для второй дроби: $(c-a)$.
• Дополнительный множитель для третьей дроби: $(b-c)$.

Получим следующее выражение:

$$ \frac{1 \cdot (a-b)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (c-a)}{(a-b)(b-c)(c-a)} + \frac{1 \cdot (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Сложим числители, оставив знаменатель без изменений:

$$ \frac{(a-b) + (c-a) + (b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Раскроем скобки в числителе и сгруппируем подобные члены:

$$ \frac{a - b + c - a + b - c}{(a-b)(b-c)(c-a)} = \frac{(a-a) + (b-b) + (c-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)} $$

Вычислим значение числителя:

$$ \frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)} = 0 $$

Таким образом, левая часть равенства равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано при условии, что $a \neq b, b \neq c, c \neq a$.

Ответ: Тождество доказано.

852. Запишите дробь в виде суммы целого выражения и дроби:

1) $\frac{a-7}{a}$;

2) $\frac{a^2+2a-2}{a+2}$;

3) $\frac{x^2+3x-2}{x-3}$.

1) Чтобы представить дробь в виде суммы целого выражения и дроби, нужно выделить целую часть. Для этого можно разделить числитель на знаменатель.
$\frac{a-7}{a} = \frac{a}{a} - \frac{7}{a}$
Сокращаем первое слагаемое $\frac{a}{a}=1$.
В результате получаем сумму целого выражения (1) и дроби ($-\frac{7}{a}$):
$1 - \frac{7}{a}$
Ответ: $1 - \frac{7}{a}$

2) Чтобы представить дробь $\frac{a^2+2a-2}{a+2}$ в виде суммы, выделим целую часть. Это можно сделать путем преобразования числителя или делением многочленов "уголком".
Способ 1: Преобразование числителя.
Выделим в числителе слагаемое, кратное знаменателю $a+2$:
$a^2+2a-2 = a(a+2)-2$
Теперь разделим полученное выражение на знаменатель:
$\frac{a(a+2)-2}{a+2} = \frac{a(a+2)}{a+2} - \frac{2}{a+2} = a - \frac{2}{a+2}$
Таким образом, мы представили дробь в виде суммы целого выражения $a$ и дроби $-\frac{2}{a+2}$.
Ответ: $a - \frac{2}{a+2}$

3) Для дроби $\frac{x^2+3x-2}{x-3}$ применим метод деления многочленов "уголком", чтобы выделить целую часть.
Делим $x^2+3x-2$ на $x-3$:
1. Делим $x^2$ на $x$, получаем $x$. Это первая часть целого выражения.
2. Умножаем $x$ на $(x-3)$, получаем $x^2-3x$.
3. Вычитаем из делимого: $(x^2+3x-2) - (x^2-3x) = 6x-2$.
4. Делим $6x$ на $x$, получаем $6$. Это вторая часть целого выражения.
5. Умножаем $6$ на $(x-3)$, получаем $6x-18$.
6. Вычитаем из остатка: $(6x-2) - (6x-18) = 16$.
В результате деления получили целую часть (частное) $x+6$ и остаток $16$.
Следовательно, дробь можно записать так:
$x+6 + \frac{16}{x-3}$
Ответ: $x+6 + \frac{16}{x-3}$

853. Известно, что $\frac{x}{y} = 4$. Найдите значение выражения:

1) $\frac{x+y}{x}$;

2) $\frac{3x+4y}{x}$.

Нам дано, что $\frac{x}{y} = 4$. Из этого соотношения мы можем выразить $x$ через $y$: $x = 4y$. Также мы можем найти обратное соотношение: $\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$. Мы будем использовать эти соотношения для решения.

1) Чтобы найти значение выражения $\frac{x+y}{x}$, разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{x+y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{y}{x} = 1 + \frac{y}{x}$

Мы уже знаем, что если $\frac{x}{y} = 4$, то $\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$. Подставим это значение в наше выражение:

$1 + \frac{y}{x} = 1 + \frac{1}{4} = 1\frac{1}{4} = 1.25$

Ответ: $1.25$

2) Аналогично, чтобы найти значение выражения $\frac{3x+4y}{x}$, разделим числитель почленно на знаменатель:

$\frac{3x+4y}{x} = \frac{3x}{x} + \frac{4y}{x} = 3 + 4 \cdot \frac{y}{x}$

Подставим известное нам значение $\frac{y}{x} = \frac{1}{4}$:

$3 + 4 \cdot \frac{1}{4} = 3 + \frac{4}{4} = 3 + 1 = 4$

Ответ: $4$

854. Найдите все натуральные значения n, при которых является натуральным числом значение выражения:

1) $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n}$;

2) $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2}$;

3) $\frac{10 - 4n}{n}$;

4) $\frac{12 - 3n}{n}$.

1) Чтобы значение выражения $\frac{12n^2 - 5n + 33}{n}$ было натуральным числом, необходимо, чтобы оно было целым и положительным.
Преобразуем выражение, разделив числитель почленно на знаменатель:
$\frac{12n^2 - 5n + 33}{n} = \frac{12n^2}{n} - \frac{5n}{n} + \frac{33}{n} = 12n - 5 + \frac{33}{n}$.
Поскольку $n$ — натуральное число, $12n - 5$ является целым числом. Чтобы все выражение было целым, необходимо, чтобы дробь $\frac{33}{n}$ была целым числом. Это возможно только в том случае, если $n$ является натуральным делителем числа 33.
Натуральные делители числа 33: 1, 3, 11, 33.
Проверим, будет ли значение выражения натуральным (положительным) для каждого из этих $n$:

• При $n=1$: $12(1) - 5 + \frac{33}{1} = 12 - 5 + 33 = 40$. 40 — натуральное число.
• При $n=3$: $12(3) - 5 + \frac{33}{3} = 36 - 5 + 11 = 42$. 42 — натуральное число.
• При $n=11$: $12(11) - 5 + \frac{33}{11} = 132 - 5 + 3 = 130$. 130 — натуральное число.
• При $n=33$: $12(33) - 5 + \frac{33}{33} = 396 - 5 + 1 = 392$. 392 — натуральное число.

Все найденные значения $n$ подходят.
Ответ: 1, 3, 11, 33.

2) Рассмотрим выражение $\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2}$.
Преобразуем его:
$\frac{n^3 - 6n^2 + 54}{n^2} = \frac{n^3}{n^2} - \frac{6n^2}{n^2} + \frac{54}{n^2} = n - 6 + \frac{54}{n^2}$.
Для того чтобы значение этого выражения было целым, необходимо, чтобы $\frac{54}{n^2}$ было целым числом. Это означает, что $n^2$ должно быть делителем числа 54.
Делители числа 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54.
Теперь выберем из них те, которые являются квадратами натуральных чисел:

• $n^2 = 1 \implies n=1$.
• $n^2 = 9 \implies n=3$.

Других полных квадратов среди делителей 54 нет. Таким образом, возможные значения $n$ — это 1 и 3.
Проверим, будет ли значение выражения натуральным числом для этих $n$:

• При $n=1$: $1 - 6 + \frac{54}{1^2} = 1 - 6 + 54 = 49$. 49 — натуральное число.
• При $n=3$: $3 - 6 + \frac{54}{3^2} = 3 - 6 + \frac{54}{9} = -3 + 6 = 3$. 3 — натуральное число.

Оба значения $n$ подходят.
Ответ: 1, 3.

3) Рассмотрим выражение $\frac{10 - 4n}{n}$.
Преобразуем его:
$\frac{10 - 4n}{n} = \frac{10}{n} - \frac{4n}{n} = \frac{10}{n} - 4$.
Чтобы значение выражения было целым, $n$ должно быть натуральным делителем числа 10.
Натуральные делители 10: 1, 2, 5, 10.
Кроме того, значение выражения должно быть натуральным, то есть положительным:
$\frac{10}{n} - 4 > 0$
$\frac{10}{n} > 4$
$10 > 4n$ (так как $n$ - натуральное число, $n > 0$)
$n < \frac{10}{4}$
$n < 2.5$
Из натуральных делителей числа 10 (1, 2, 5, 10) этому условию удовлетворяют только $n=1$ и $n=2$.
Проверим их:

• При $n=1$: $\frac{10}{1} - 4 = 10 - 4 = 6$. 6 — натуральное число.
• При $n=2$: $\frac{10}{2} - 4 = 5 - 4 = 1$. 1 — натуральное число.

Ответ: 1, 2.

4) Рассмотрим выражение $\frac{12 - 3n}{n}$.
Преобразуем его:
$\frac{12 - 3n}{n} = \frac{12}{n} - \frac{3n}{n} = \frac{12}{n} - 3$.
Чтобы значение выражения было целым, $n$ должно быть натуральным делителем числа 12.
Натуральные делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Значение выражения должно быть натуральным, то есть положительным:
$\frac{12}{n} - 3 > 0$
$\frac{12}{n} > 3$
$12 > 3n$
$n < 4$
Из натуральных делителей числа 12 (1, 2, 3, 4, 6, 12) этому условию удовлетворяют $n=1$, $n=2$ и $n=3$.
Проверим их:

• При $n=1$: $\frac{12}{1} - 3 = 12 - 3 = 9$. 9 — натуральное число.
• При $n=2$: $\frac{12}{2} - 3 = 6 - 3 = 3$. 3 — натуральное число.
• При $n=3$: $\frac{12}{3} - 3 = 4 - 3 = 1$. 1 — натуральное число.

Ответ: 1, 2, 3.

855. Выразите переменную x через другие переменные, если:

1) $x + \frac{a}{b} = 1;$

2) $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = b;$

3) $\frac{a}{b} + \frac{x}{4} = \frac{b}{a}.$

1) Дано уравнение $x + \frac{a}{b} = 1$.

Для того чтобы выразить переменную $x$, необходимо изолировать ее в левой части уравнения. Перенесем слагаемое $\frac{a}{b}$ в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$x = 1 - \frac{a}{b}$

Чтобы представить правую часть в виде одной дроби, приведем ее к общему знаменателю $b$. Для этого представим $1$ как $\frac{b}{b}$:

$x = \frac{b}{b} - \frac{a}{b}$

Теперь вычтем дроби:

$x = \frac{b-a}{b}$

Предполагается, что $b \neq 0$.

Ответ: $x = \frac{b-a}{b}$

2) Дано уравнение $\frac{1}{x} + \frac{1}{a} = b$.

Сначала изолируем слагаемое, содержащее $x$. Перенесем $\frac{1}{a}$ в правую часть уравнения:

$\frac{1}{x} = b - \frac{1}{a}$

Приведем правую часть к общему знаменателю $a$:

$\frac{1}{x} = \frac{ba}{a} - \frac{1}{a}$

$\frac{1}{x} = \frac{ba-1}{a}$

Теперь, чтобы найти $x$, возьмем обратные величины (перевернем дроби) от обеих частей уравнения:

$x = \frac{a}{ba-1}$

Предполагается, что $x \neq 0, a \neq 0$ и $ba-1 \neq 0$.

Ответ: $x = \frac{a}{ab-1}$

3) Дано уравнение $\frac{a}{b} + \frac{x}{4} = \frac{b}{a}$.

Изолируем слагаемое с переменной $x$, перенеся $\frac{a}{b}$ в правую часть:

$\frac{x}{4} = \frac{b}{a} - \frac{a}{b}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $ab$:

$\frac{x}{4} = \frac{b \cdot b}{a \cdot b} - \frac{a \cdot a}{b \cdot a}$

$\frac{x}{4} = \frac{b^2 - a^2}{ab}$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 4:

$x = \frac{4(b^2 - a^2)}{ab}$

Предполагается, что $a \neq 0$ и $b \neq 0$.

Ответ: $x = \frac{4(b^2-a^2)}{ab}$

856. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 - a^2} + \frac{1}{a^2 - 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 - 36)^2}$;

2) $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)} = 1$.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2$.

Знаменатель второй дроби: $36 - a^2 = (6 - a)(6 + a) = -(a - 6)(a + 6)$.

Знаменатель третьей дроби: $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.

Теперь перепишем левую часть равенства с разложенными знаменателями:

$\frac{1}{(a+6)^2} + \frac{2}{-(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2} - \frac{2}{(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2}$.

Полученное выражение представляет собой полный квадрат разности вида $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = \frac{1}{a+6}$ и $y = \frac{1}{a-6}$.

Свернем выражение по этой формуле:

$(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a-6})^2$.

Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a+6)(a-6)$:

$(\frac{1 \cdot (a-6) - 1 \cdot (a+6)}{(a+6)(a-6)})^2 = (\frac{a-6-a-6}{a^2-36})^2 = (\frac{-12}{a^2-36})^2$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{-12}{a^2-36})^2 = \frac{(-12)^2}{(a^2-36)^2} = \frac{144}{(a^2-36)^2}$.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности равное правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели так, чтобы они содержали одинаковые множители, например $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$.

В знаменателе второй дроби: $(b-a) = -(a-b)$.

В знаменателе третьей дроби: $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.

Перепишем исходное выражение:

$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(-(a-b))(b-c)} + \frac{c^2}{(-(a-c))(-(b-c))}$

Упростим знаки:

$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^2}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^2}{(a-c)(b-c)}$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{a^2(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{b^2(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{c^2(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)}$

Запишем все под одной чертой:

$\frac{a^2(b-c) - b^2(a-c) + c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Теперь раскроем скобки в числителе и упростим его:

$a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

Выражение в скобках $a^2 - (b+c)a + bc$ можно разложить на множители как $(a-b)(a-c)$.

Таким образом, числитель равен $(b-c)(a-b)(a-c)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

857. Упростите выражение:

$ \frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)} $

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Каждая дробь в сумме имеет вид $ \frac{1}{(x)(x+d)} $, где разность сомножителей в знаменателе постоянна. Для такой дроби справедливо тождество:

$ \frac{1}{(x)(x+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+d} \right) $

В нашем случае разность между сомножителями в знаменателе каждой дроби равна 3 (например, $ (a+3) - a = 3 $). Таким образом, для всех дробей $ d=3 $.

Представим каждое слагаемое исходной суммы в виде разности:

$ \frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) $

$ \frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) $

$ \frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) $

$ \frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $

Теперь сложим все эти выражения. Вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) + \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) + \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) + \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) \right] $

Раскроем внутренние скобки и увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются (это называется телескопической суммой):

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} + \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $

После сокращения одинаковых членов с противоположными знаками в скобках останутся только первый и последний член:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+12} \right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ a(a+12) $:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{a+12}{a(a+12)} - \frac{a}{a(a+12)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{a+12-a}{a(a+12)} \right) $

Упростим числитель в скобках:

$ \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} $

Выполним умножение и сократим полученную дробь:

$ \frac{12}{3a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)} $

Ответ: $ \frac{4}{a(a+12)} $

858. Докажите, что если $\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}$, то $b=0$ или $c=0$.

Для доказательства данного утверждения мы начнем с исходного равенства и преобразуем его алгебраически.

Исходное равенство:$ \frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c} $

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение), умножив числитель каждой дроби на знаменатель другой. Это допустимо при условии, что знаменатели не равны нулю, то есть $a+b-c \neq 0$ и $a-b-c \neq 0$.

$ (a+b+c)(a-b-c) = (a+b-c)(a-b+c) $

Для упрощения раскроем скобки в обеих частях, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Левую часть равенства сгруппируем и преобразуем следующим образом:$ (a+(b+c))(a-(b+c)) = a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - 2bc - c^2 $

Правую часть равенства также сгруппируем и преобразуем, заметив, что $a+b-c = a+(b-c)$ и $a-b+c = a-(b-c)$:$ (a+(b-c))(a-(b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2 $

Теперь приравняем полученные выражения:$ a^2 - b^2 - 2bc - c^2 = a^2 - b^2 + 2bc - c^2 $

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения. Для этого вычтем $a^2$ и прибавим $b^2$ и $c^2$ к обеим частям.$ -2bc = 2bc $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю.$ 2bc + 2bc = 0 $$ 4bc = 0 $

Разделив обе части на 4, получим:$ bc = 0 $

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, из $bc=0$ следует, что либо $b=0$, либо $c=0$.

Ответ: Преобразование исходного равенства приводит к уравнению $4bc=0$, из которого следует, что $b=0$ или $c=0$, что и требовалось доказать.

859. Выполните умножение:

1) $ \frac{9x}{y} \cdot \frac{y}{24x}; $

2) $ \frac{m^2 n^3}{25t} \cdot \left(\frac{-5t}{mn^2}\right); $

3) $ \frac{16a^4}{21b^5} \cdot \frac{9b^2}{10a^3}; $

4) $ 26m^2 \cdot \frac{3n^2}{13m^4}; $

5) $ \frac{24t^7}{16u^3} \cdot 34u^5; $

6) $ \frac{4x^5 y^2}{7a^3 b} \cdot \frac{21xb^2}{10y^3 a^2} \cdot \frac{25a^5 y}{3x^4 b}; $

1) Чтобы умножить две дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели соответственно:

$\frac{9x}{y} \cdot \frac{y}{24x} = \frac{9x \cdot y}{y \cdot 24x} = \frac{9xy}{24xy}$

Теперь сократим полученную дробь. Сокращаем одинаковые переменные $x$ и $y$ в числителе и знаменателе. Также сокращаем числовые коэффициенты 9 и 24 на их наибольший общий делитель, который равен 3:

$\frac{9}{24} = \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{8}$

Таким образом, получаем:

$\frac{9xy}{24xy} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

2) Умножаем числитель первой дроби на числитель второй, а знаменатель первой на знаменатель второй. Так как один из множителей отрицательный, результат будет отрицательным:

$\frac{m^2n^3}{25t} \cdot \left(\frac{-5t}{mn^2}\right) = -\frac{m^2n^3 \cdot 5t}{25t \cdot mn^2}$

Сокращаем дробь. Сначала сократим числовые коэффициенты:

$\frac{5}{25} = \frac{1}{5}$

Теперь сократим переменные, используя свойство степеней $\frac{a^k}{a^p} = a^{k-p}$:

$\frac{m^2}{m} = m^{2-1} = m$

$\frac{n^3}{n^2} = n^{3-2} = n$

$\frac{t}{t} = 1$

Собираем все вместе, не забывая про знак минус:

$-\frac{1 \cdot m \cdot n \cdot 1}{5 \cdot 1 \cdot 1} = -\frac{mn}{5}$

Ответ: $-\frac{mn}{5}$

3) Выполняем умножение дробей, перемножая числители и знаменатели:

$\frac{16a^4}{21b^5} \cdot \frac{9b^2}{10a^3} = \frac{16a^4 \cdot 9b^2}{21b^5 \cdot 10a^3}$

Для упрощения, сократим коэффициенты и переменные. Удобнее сделать это до перемножения:

$\frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ (сократили на 2)

$\frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ (сократили на 3)

$\frac{a^4}{a^3} = a^{4-3} = a$

$\frac{b^2}{b^5} = \frac{1}{b^{5-2}} = \frac{1}{b^3}$

Теперь перемножим сокращенные части:

$\frac{8a}{7b^3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{8a \cdot 3}{7b^3 \cdot 5} = \frac{24a}{35b^3}$

Ответ: $\frac{24a}{35b^3}$

4) Представим выражение $26m^2$ в виде дроби $\frac{26m^2}{1}$ и выполним умножение:

$26m^2 \cdot \frac{3n^2}{13m^4} = \frac{26m^2}{1} \cdot \frac{3n^2}{13m^4} = \frac{26m^2 \cdot 3n^2}{13m^4}$

Сокращаем полученную дробь:

$\frac{26}{13} = 2$

$\frac{m^2}{m^4} = \frac{1}{m^{4-2}} = \frac{1}{m^2}$

Переменная $n^2$ остается в числителе. Собираем результат:

$\frac{2 \cdot 3n^2}{m^2} = \frac{6n^2}{m^2}$

Ответ: $\frac{6n^2}{m^2}$

5) Представим выражение $34u^5$ в виде дроби $\frac{34u^5}{1}$ и выполним умножение:

$\frac{24t^7}{16u^3} \cdot 34u^5 = \frac{24t^7}{16u^3} \cdot \frac{34u^5}{1} = \frac{24t^7 \cdot 34u^5}{16u^3}$

Сократим коэффициенты и переменные:

$\frac{24}{16} = \frac{3}{2}$ (сократили на 8)

$\frac{u^5}{u^3} = u^{5-3} = u^2$

Теперь перемножим оставшиеся части:

$\frac{3t^7}{2} \cdot 34u^2 = \frac{3t^7 \cdot 34u^2}{2} = 3t^7 \cdot 17u^2 = 51t^7u^2$

Ответ: $51t^7u^2$

6) Чтобы перемножить три дроби, запишем произведение их числителей в новый числитель, а произведение знаменателей — в новый знаменатель:

$\frac{4x^5y^2}{7a^3b} \cdot \frac{21xb^2}{10y^3a^2} \cdot \frac{25a^5y}{3x^4b} = \frac{4x^5y^2 \cdot 21xb^2 \cdot 25a^5y}{7a^3b \cdot 10y^3a^2 \cdot 3x^4b}$

Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями для удобства сокращения:

$\frac{(4 \cdot 21 \cdot 25) \cdot (x^5 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y) \cdot a^5 \cdot b^2}{(7 \cdot 10 \cdot 3) \cdot x^4 \cdot y^3 \cdot (a^3 \cdot a^2) \cdot (b \cdot b)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{2100 \cdot x^6 \cdot y^3 \cdot a^5 \cdot b^2}{210 \cdot x^4 \cdot y^3 \cdot a^5 \cdot b^2}$

Теперь сократим дробь:

$\frac{2100}{210} = 10$

$\frac{x^6}{x^4} = x^{6-4} = x^2$

$\frac{y^3}{y^3} = 1$

$\frac{a^5}{a^5} = 1$

$\frac{b^2}{b^2} = 1$

Результатом будет произведение оставшихся множителей:

$10 \cdot x^2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 10x^2$

Ответ: $10x^2$