Номер 857, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 857, страница 217.

Условие.

857. Упростите выражение:

$ \frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для упрощения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Каждая дробь в сумме имеет вид $ \frac{1}{(x)(x+d)} $, где разность сомножителей в знаменателе постоянна. Для такой дроби справедливо тождество:

$ \frac{1}{(x)(x+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+d} \right) $

В нашем случае разность между сомножителями в знаменателе каждой дроби равна 3 (например, $ (a+3) - a = 3 $). Таким образом, для всех дробей $ d=3 $.

Представим каждое слагаемое исходной суммы в виде разности:

$ \frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) $

$ \frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) $

$ \frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) $

$ \frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $

Теперь сложим все эти выражения. Вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:

$ \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) + \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) + \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) + \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) \right] $

Раскроем внутренние скобки и увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются (это называется телескопической суммой):

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} + \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $

После сокращения одинаковых членов с противоположными знаками в скобках останутся только первый и последний член:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+12} \right) $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ a(a+12) $:

$ \frac{1}{3} \left( \frac{a+12}{a(a+12)} - \frac{a}{a(a+12)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{a+12-a}{a(a+12)} \right) $

Упростим числитель в скобках:

$ \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} $

Выполним умножение и сократим полученную дробь:

$ \frac{12}{3a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)} $

Ответ: $ \frac{4}{a(a+12)} $