Номер 857, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 857, страница 217.
№857 (с. 217)
Условие. №857 (с. 217)
скриншот условия

857. Упростите выражение:
$ \frac{1}{a(a+3)} + \frac{1}{(a+3)(a+6)} + \frac{1}{(a+6)(a+9)} + \frac{1}{(a+9)(a+12)} $
Решение 1. №857 (с. 217)

Решение 2. №857 (с. 217)

Решение 3. №857 (с. 217)

Решение 4. №857 (с. 217)

Решение 5. №857 (с. 217)

Решение 6. №857 (с. 217)

Решение 7. №857 (с. 217)

Решение 8. №857 (с. 217)
Для упрощения данного выражения воспользуемся методом разложения дробей на простейшие. Каждая дробь в сумме имеет вид $ \frac{1}{(x)(x+d)} $, где разность сомножителей в знаменателе постоянна. Для такой дроби справедливо тождество:
$ \frac{1}{(x)(x+d)} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+d} \right) $
В нашем случае разность между сомножителями в знаменателе каждой дроби равна 3 (например, $ (a+3) - a = 3 $). Таким образом, для всех дробей $ d=3 $.
Представим каждое слагаемое исходной суммы в виде разности:
$ \frac{1}{a(a+3)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) $
$ \frac{1}{(a+3)(a+6)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) $
$ \frac{1}{(a+6)(a+9)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) $
$ \frac{1}{(a+9)(a+12)} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $
Теперь сложим все эти выражения. Вынесем общий множитель $ \frac{1}{3} $ за скобки:
$ \frac{1}{3} \left[ \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} \right) + \left( \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} \right) + \left( \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} \right) + \left( \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) \right] $
Раскроем внутренние скобки и увидим, что промежуточные члены взаимно уничтожаются (это называется телескопической суммой):
$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} - \frac{1}{a+6} + \frac{1}{a+6} - \frac{1}{a+9} + \frac{1}{a+9} - \frac{1}{a+12} \right) $
После сокращения одинаковых членов с противоположными знаками в скобках останутся только первый и последний член:
$ \frac{1}{3} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{a+12} \right) $
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $ a(a+12) $:
$ \frac{1}{3} \left( \frac{a+12}{a(a+12)} - \frac{a}{a(a+12)} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{a+12-a}{a(a+12)} \right) $
Упростим числитель в скобках:
$ \frac{1}{3} \cdot \frac{12}{a(a+12)} $
Выполним умножение и сократим полученную дробь:
$ \frac{12}{3a(a+12)} = \frac{4}{a(a+12)} $
Ответ: $ \frac{4}{a(a+12)} $
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 857 расположенного на странице 217 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №857 (с. 217), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.