Номер 862, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 862, страница 218.

Условие.

862. Выполните деление:

1) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} : \frac{x - 5}{x - 10};$

2) $\frac{a^2 - 1}{a - 8} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a - 8};$

3) $\frac{ab + b^2}{8b} : \frac{ab + a^2}{2a};$

4) $\frac{2c - 3}{c - 1} : (2c - 3);$

5) $\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} : \frac{x^2 + 8xy + 16y^2}{25x^2 + 20xy + 4y^2};$

6) $\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{49n^2 - 14n + 1};$

7) $\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} : \frac{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}{3m^5 + 6n^7};$

8) $\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} : \frac{30(a - 4b)^2}{9a^4 - b^4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} : \frac{x - 5}{x - 10}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} \cdot \frac{x - 10}{x - 5}$
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$
$x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x-10)(x+10)$
Подставим разложенные выражения в пример:
$\frac{(x-5)^2}{(x-10)(x+10)} \cdot \frac{x-10}{x-5}$
Сократим общие множители $(x-5)$ и $(x-10)$:
$\frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-10)}(x+10)} \cdot \frac{\cancel{x-10}}{\cancel{x-5}} = \frac{x-5}{x+10}$
Ответ: $\frac{x-5}{x+10}$

2) $\frac{a^2 - 1}{a - 8} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a - 8}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2 - 1}{a - 8} \cdot \frac{a - 8}{a^2 + 2a + 1}$
Разложим числители на множители. Используем формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$
$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$
Подставляем и сокращаем общие множители $(a-8)$ и $(a+1)$:
$\frac{(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{a - 8}} \cdot \frac{\cancel{a - 8}}{(a+1)^{\cancel{2}}} = \frac{a-1}{a+1}$
Ответ: $\frac{a-1}{a+1}$

3) $\frac{ab + b^2}{8b} : \frac{ab + a^2}{2a}$
Переворачиваем вторую дробь и заменяем деление на умножение:
$\frac{ab + b^2}{8b} \cdot \frac{2a}{ab + a^2}$
Вынесем общие множители за скобки в числителях:
$ab + b^2 = b(a+b)$
$ab + a^2 = a(a+b)$
Подставим в выражение:
$\frac{b(a+b)}{8b} \cdot \frac{2a}{a(a+b)}$
Сокращаем общие множители $a$, $b$, $(a+b)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{\cancel{b}\cancel{(a+b)}}{\cancel{8}_4 \cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{2}^1 \cancel{a}}{\cancel{a}\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) $\frac{2c - 3}{c - 1} : (2c - 3)$
Представим делитель $(2c-3)$ в виде дроби $\frac{2c-3}{1}$.
$\frac{2c - 3}{c - 1} : \frac{2c - 3}{1}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{2c - 3}{c - 1} \cdot \frac{1}{2c - 3}$
Сокращаем общий множитель $(2c-3)$:
$\frac{\cancel{2c - 3}}{c - 1} \cdot \frac{1}{\cancel{2c - 3}} = \frac{1}{c-1}$
Ответ: $\frac{1}{c-1}$

5) $\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} : \frac{x^2 + 8xy + 16y^2}{25x^2 + 20xy + 4y^2}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} \cdot \frac{25x^2 + 20xy + 4y^2}{x^2 + 8xy + 16y^2}$
Разложим многочлены на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы:
$x^2 - 16y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
$25x^2 - 4y^2 = (5x - 2y)(5x + 2y)$
$x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$
$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x + 2y)^2$
Подставляем разложенные выражения:
$\frac{(x - 4y)(x + 4y)}{(5x - 2y)(5x + 2y)} \cdot \frac{(5x + 2y)^2}{(x + 4y)^2}$
Сокращаем общие множители $(x+4y)$ и $(5x+2y)$:
$\frac{(x - 4y)\cancel{(x + 4y)}}{(5x - 2y)\cancel{(5x + 2y)}} \cdot \frac{(5x + 2y)^{\cancel{2}}}{(x + 4y)^{\cancel{2}}} = \frac{(x-4y)(5x+2y)}{(5x-2y)(x+4y)}$
Ответ: $\frac{(x-4y)(5x+2y)}{(5x-2y)(x+4y)}$

6) $\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{49n^2 - 14n + 1}$
Выполняем умножение на обратную дробь:
$\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} \cdot \frac{49n^2 - 14n + 1}{n^4 - 27n}$
Разложим выражения на множители:
$n^2 - 3n = n(n - 3)$
$49n^2 - 1 = (7n - 1)(7n + 1)$ (разность квадратов)
$n^4 - 27n = n(n^3 - 27) = n(n-3)(n^2+3n+9)$ (разность кубов)
$49n^2 - 14n + 1 = (7n - 1)^2$ (квадрат разности)
Подставляем и выполняем сокращение:
$\frac{n(n - 3)}{(7n - 1)(7n + 1)} \cdot \frac{(7n - 1)^2}{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)}$
$\frac{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}}{\cancel{(7n - 1)}(7n + 1)} \cdot \frac{(7n - 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}(n^2 + 3n + 9)} = \frac{7n - 1}{(7n + 1)(n^2 + 3n + 9)}$
Ответ: $\frac{7n - 1}{(7n + 1)(n^2 + 3n + 9)}$

7) $\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} : \frac{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}{3m^5 + 6n^7}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} \cdot \frac{3m^5 + 6n^7}{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}$
Разложим на множители числители и знаменатели:
$m^{12} - n^{15} = (m^4)^3 - (n^5)^3 = (m^4 - n^5)(m^8 + m^4n^5 + n^{10})$ (разность кубов)
$2m^{10} - 8n^{14} = 2(m^{10} - 4n^{14}) = 2((m^5)^2 - (2n^7)^2) = 2(m^5 - 2n^7)(m^5 + 2n^7)$ (разность квадратов)
$5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10} = 5(m^8 + m^4n^5 + n^{10})$ (вынесение общего множителя)
$3m^5 + 6n^7 = 3(m^5 + 2n^7)$ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(m^4 - n^5)(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}{2(m^5 - 2n^7)(m^5 + 2n^7)} \cdot \frac{3(m^5 + 2n^7)}{5(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}$
Сократим общие множители:
$\frac{(m^4 - n^5)\cancel{(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}}{2(m^5 - 2n^7)\cancel{(m^5 + 2n^7)}} \cdot \frac{3\cancel{(m^5 + 2n^7)}}{5\cancel{(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}} = \frac{3(m^4 - n^5)}{10(m^5 - 2n^7)}$
Ответ: $\frac{3(m^4 - n^5)}{10(m^5 - 2n^7)}$

8) $\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} : \frac{30(a - 4b)^2}{9a^4 - b^4}$
Выполняем умножение на обратную дробь:
$\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} \cdot \frac{9a^4 - b^4}{30(a - 4b)^2}$
Разложим на множители:
$5a^2 - 20ab = 5a(a - 4b)$ (вынесение общего множителя)
$9a^4 - b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$ (разность квадратов)
Знаменатель $3a^2+b^2$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{5a(a - 4b)}{3a^2 + b^2} \cdot \frac{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)}{30(a - 4b)^2}$
Сократим общие множители $5$, $(a-4b)$ и $(3a^2+b^2)$:
$\frac{\cancel{5}a\cancel{(a - 4b)}}{\cancel{3a^2 + b^2}} \cdot \frac{(3a^2 - b^2)\cancel{(3a^2 + b^2)}}{\cancel{30}_6(a - 4b)^{\cancel{2}}} = \frac{a(3a^2 - b^2)}{6(a - 4b)}$
Ответ: $\frac{a(3a^2 - b^2)}{6(a - 4b)}$