Номер 858, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 858, страница 217.

Условие.

858. Докажите, что если $\frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c}$, то $b=0$ или $c=0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного утверждения мы начнем с исходного равенства и преобразуем его алгебраически.

Исходное равенство:$ \frac{a+b+c}{a+b-c} = \frac{a-b+c}{a-b-c} $

Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение), умножив числитель каждой дроби на знаменатель другой. Это допустимо при условии, что знаменатели не равны нулю, то есть $a+b-c \neq 0$ и $a-b-c \neq 0$.

$ (a+b+c)(a-b-c) = (a+b-c)(a-b+c) $

Для упрощения раскроем скобки в обеих частях, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

Левую часть равенства сгруппируем и преобразуем следующим образом:$ (a+(b+c))(a-(b+c)) = a^2 - (b+c)^2 = a^2 - (b^2 + 2bc + c^2) = a^2 - b^2 - 2bc - c^2 $

Правую часть равенства также сгруппируем и преобразуем, заметив, что $a+b-c = a+(b-c)$ и $a-b+c = a-(b-c)$:$ (a+(b-c))(a-(b-c)) = a^2 - (b-c)^2 = a^2 - (b^2 - 2bc + c^2) = a^2 - b^2 + 2bc - c^2 $

Теперь приравняем полученные выражения:$ a^2 - b^2 - 2bc - c^2 = a^2 - b^2 + 2bc - c^2 $

Сократим одинаковые члены в обеих частях уравнения. Для этого вычтем $a^2$ и прибавим $b^2$ и $c^2$ к обеим частям.$ -2bc = 2bc $

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю.$ 2bc + 2bc = 0 $$ 4bc = 0 $

Разделив обе части на 4, получим:$ bc = 0 $

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, из $bc=0$ следует, что либо $b=0$, либо $c=0$.

Ответ: Преобразование исходного равенства приводит к уравнению $4bc=0$, из которого следует, что $b=0$ или $c=0$, что и требовалось доказать.