Номер 861, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 861, страница 218.

Условие.

861. Представьте выражение в виде дроби:

1) $ \left(\frac{a^5}{x^4}\right)^2 $;

2) $ \left(-\frac{4y}{3m^2}\right)^4 $;

3) $ \left(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3}\right)^3 $;

4) $ \left(-\frac{2a^4b^4}{25x^5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{5x^2}{4a^2b^3}\right)^3 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы представить выражение $(\frac{a^5}{x^4})^2$ в виде дроби, необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойствами степени: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к нашему выражению:

$(\frac{a^5}{x^4})^2 = \frac{(a^5)^2}{(x^4)^2} = \frac{a^{5 \cdot 2}}{x^{4 \cdot 2}} = \frac{a^{10}}{x^8}$

Ответ: $\frac{a^{10}}{x^8}$

2) Для выражения $(-\frac{4y}{3m^2})^4$ сначала обратим внимание на знак. Поскольку дробь возводится в четную степень (4), результат будет положительным. Далее применяем те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

$(-\frac{4y}{3m^2})^4 = (\frac{4y}{3m^2})^4 = \frac{(4y)^4}{(3m^2)^4} = \frac{4^4 \cdot y^4}{3^4 \cdot (m^2)^4} = \frac{256y^4}{81m^{2 \cdot 4}} = \frac{256y^4}{81m^8}$

Ответ: $\frac{256y^4}{81m^8}$

3) В выражении $(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3$ дробь возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохраняется в итоговом результате.

$(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3 = -(\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3 = -\frac{(10x^2y^5)^3}{(3a^4b^3)^3} = -\frac{10^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^5)^3}{3^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^3)^3}$

Вычисляем степени коэффициентов и показателей:

$-\frac{1000 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{5 \cdot 3}}{27 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3}} = -\frac{1000x^6y^{15}}{27a^{12}b^9}$

Ответ: $-\frac{1000x^6y^{15}}{27a^{12}b^9}$

4) Данное выражение представляет собой произведение двух дробей, возведенных в степень: $(-\frac{2a^4b^4}{25x^5})^2 \cdot (-\frac{5x^2}{4a^2b^3})^3$. Упростим каждый множитель по отдельности, а затем перемножим результаты.

Первый множитель возводится в четную степень, поэтому знак минус исчезает:

$(-\frac{2a^4b^4}{25x^5})^2 = \frac{(2a^4b^4)^2}{(25x^5)^2} = \frac{2^2(a^4)^2(b^4)^2}{25^2(x^5)^2} = \frac{4a^8b^8}{625x^{10}}$

Второй множитель возводится в нечетную степень, поэтому знак минус сохраняется:

$(-\frac{5x^2}{4a^2b^3})^3 = -\frac{(5x^2)^3}{(4a^2b^3)^3} = -\frac{5^3(x^2)^3}{4^3(a^2)^3(b^3)^3} = -\frac{125x^6}{64a^6b^9}$

Теперь перемножим полученные дроби. Общий результат будет отрицательным.

$(\frac{4a^8b^8}{625x^{10}}) \cdot (-\frac{125x^6}{64a^6b^9}) = -\frac{4a^8b^8 \cdot 125x^6}{625x^{10} \cdot 64a^6b^9}$

Сократим числовые коэффициенты и переменные со степенями, используя правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-\frac{4 \cdot 125}{625 \cdot 64} \cdot \frac{a^8}{a^6} \cdot \frac{b^8}{b^9} \cdot \frac{x^6}{x^{10}} = -\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{125}}{\cancel{625}_5 \cdot \cancel{64}_{16}} \cdot a^{8-6} \cdot b^{8-9} \cdot x^{6-10} = -\frac{1}{80} \cdot a^2 \cdot b^{-1} \cdot x^{-4}$

Запишем результат в виде одной дроби, переместив переменные с отрицательными степенями в знаменатель:

$-\frac{a^2}{80bx^4}$

Ответ: $-\frac{a^2}{80bx^4}$