Номер 856, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 856, страница 217.

Условие.

856. Докажите тождество:

1) $\frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 - a^2} + \frac{1}{a^2 - 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 - 36)^2}$;

2) $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)} = 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2$.

Знаменатель второй дроби: $36 - a^2 = (6 - a)(6 + a) = -(a - 6)(a + 6)$.

Знаменатель третьей дроби: $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.

Теперь перепишем левую часть равенства с разложенными знаменателями:

$\frac{1}{(a+6)^2} + \frac{2}{-(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2} - \frac{2}{(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2}$.

Полученное выражение представляет собой полный квадрат разности вида $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = \frac{1}{a+6}$ и $y = \frac{1}{a-6}$.

Свернем выражение по этой формуле:

$(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a-6})^2$.

Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a+6)(a-6)$:

$(\frac{1 \cdot (a-6) - 1 \cdot (a+6)}{(a+6)(a-6)})^2 = (\frac{a-6-a-6}{a^2-36})^2 = (\frac{-12}{a^2-36})^2$.

Теперь возведем полученную дробь в квадрат:

$(\frac{-12}{a^2-36})^2 = \frac{(-12)^2}{(a^2-36)^2} = \frac{144}{(a^2-36)^2}$.

Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности равное правой части. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

2)

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели так, чтобы они содержали одинаковые множители, например $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$.

В знаменателе второй дроби: $(b-a) = -(a-b)$.

В знаменателе третьей дроби: $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.

Перепишем исходное выражение:

$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(-(a-b))(b-c)} + \frac{c^2}{(-(a-c))(-(b-c))}$

Упростим знаки:

$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^2}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^2}{(a-c)(b-c)}$

Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:

$\frac{a^2(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{b^2(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{c^2(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)}$

Запишем все под одной чертой:

$\frac{a^2(b-c) - b^2(a-c) + c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$

Теперь раскроем скобки в числителе и упростим его:

$a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:

$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:

$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$

Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:

$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$

Выражение в скобках $a^2 - (b+c)a + bc$ можно разложить на множители как $(a-b)(a-c)$.

Таким образом, числитель равен $(b-c)(a-b)(a-c)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:

$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1$

Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.