Номер 856, страница 217 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 856, страница 217.
№856 (с. 217)
Условие. №856 (с. 217)
скриншот условия

856. Докажите тождество:
1) $\frac{1}{a^2 + 12a + 36} + \frac{2}{36 - a^2} + \frac{1}{a^2 - 12a + 36} = \frac{144}{(a^2 - 36)^2}$;
2) $\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(b-a)(b-c)} + \frac{c^2}{(c-a)(c-b)} = 1$.
Решение 1. №856 (с. 217)


Решение 2. №856 (с. 217)

Решение 3. №856 (с. 217)

Решение 4. №856 (с. 217)

Решение 5. №856 (с. 217)


Решение 6. №856 (с. 217)

Решение 7. №856 (с. 217)

Решение 8. №856 (с. 217)
Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов.
Знаменатель первой дроби: $a^2 + 12a + 36 = (a + 6)^2$.
Знаменатель второй дроби: $36 - a^2 = (6 - a)(6 + a) = -(a - 6)(a + 6)$.
Знаменатель третьей дроби: $a^2 - 12a + 36 = (a - 6)^2$.
Теперь перепишем левую часть равенства с разложенными знаменателями:
$\frac{1}{(a+6)^2} + \frac{2}{-(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2} = \frac{1}{(a+6)^2} - \frac{2}{(a-6)(a+6)} + \frac{1}{(a-6)^2}$.
Полученное выражение представляет собой полный квадрат разности вида $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$, где $x = \frac{1}{a+6}$ и $y = \frac{1}{a-6}$.
Свернем выражение по этой формуле:
$(\frac{1}{a+6} - \frac{1}{a-6})^2$.
Выполним вычитание дробей в скобках, приведя их к общему знаменателю $(a+6)(a-6)$:
$(\frac{1 \cdot (a-6) - 1 \cdot (a+6)}{(a+6)(a-6)})^2 = (\frac{a-6-a-6}{a^2-36})^2 = (\frac{-12}{a^2-36})^2$.
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{-12}{a^2-36})^2 = \frac{(-12)^2}{(a^2-36)^2} = \frac{144}{(a^2-36)^2}$.
Мы преобразовали левую часть тождества и получили выражение, в точности равное правой части. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
2)Для доказательства тождества преобразуем его левую часть. Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Сначала преобразуем знаменатели так, чтобы они содержали одинаковые множители, например $(a-b)$, $(b-c)$ и $(a-c)$.
В знаменателе второй дроби: $(b-a) = -(a-b)$.
В знаменателе третьей дроби: $(c-a) = -(a-c)$ и $(c-b) = -(b-c)$.
Перепишем исходное выражение:
$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} + \frac{b^2}{(-(a-b))(b-c)} + \frac{c^2}{(-(a-c))(-(b-c))}$
Упростим знаки:
$\frac{a^2}{(a-b)(a-c)} - \frac{b^2}{(a-b)(b-c)} + \frac{c^2}{(a-c)(b-c)}$
Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(a-b)(a-c)(b-c)$. Приведем дроби к этому знаменателю:
$\frac{a^2(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{b^2(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{c^2(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)}$
Запишем все под одной чертой:
$\frac{a^2(b-c) - b^2(a-c) + c^2(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)}$
Теперь раскроем скобки в числителе и упростим его:
$a^2b - a^2c - b^2a + b^2c + c^2a - c^2b$
Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$:
$(b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$
Вынесем общие множители из каждой группы:
$(b-c)a^2 - (b-c)(b+c)a + bc(b-c)$
Вынесем общий множитель $(b-c)$ за скобки:
$(b-c)(a^2 - (b+c)a + bc)$
Выражение в скобках $a^2 - (b+c)a + bc$ можно разложить на множители как $(a-b)(a-c)$.
Таким образом, числитель равен $(b-c)(a-b)(a-c)$.
Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} = 1$
Левая часть тождества равна 1, что совпадает с правой частью. Тождество доказано.
Ответ: Тождество доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 856 расположенного на странице 217 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №856 (с. 217), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.