Номер 850, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 850, страница 216.

Условие.

850. Выполните действия:

1) $\frac{2a - 1}{a - 4} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)};$

2) $\frac{x + 2}{3x + 9} - \frac{4 - x}{5x + 15};$

3) $\frac{m + 1}{m - 3} - \frac{m + 2}{m + 3};$

4) $\frac{x}{x + y} - \frac{2y^2}{y^2 - x^2} - \frac{y}{x - y};$

5) $\frac{m}{3m - 2n} - \frac{3m^2 - 3mn}{9m^2 - 12m + 4n^2};$

6) $\frac{a + 3}{a^2 - 2a} - \frac{a - 2}{5a - 10} + \frac{a + 2}{5a};$

7) $\frac{3}{3a - 3} - \frac{a - 1}{2a^2 - 4a + 2};$

8) $2 - \frac{14}{m - 2} - m;$

9) $\frac{2x + 1}{x^2 - 6x + 9} - \frac{8}{x^2 - 9} - \frac{2x - 1}{x^2 + 6x + 9};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{2a - 1}{a - 4} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{2a-1}{a-4}$ и $\frac{3a+2}{2(a-4)}$ равен $2(a-4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$\frac{2(2a - 1)}{2(a - 4)} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)} = \frac{4a - 2}{2(a - 4)} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)}$
Теперь выполним вычитание числителей:
$\frac{(4a - 2) - (3a + 2)}{2(a - 4)} = \frac{4a - 2 - 3a - 2}{2(a - 4)} = \frac{a - 4}{2(a - 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$:
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $\frac{x + 2}{3x + 9} - \frac{4 - x}{5x + 15}$

Сначала разложим знаменатели на множители:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
$5x + 15 = 5(x + 3)$
Общий знаменатель равен $3 \cdot 5 \cdot (x + 3) = 15(x + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 5, для второй — 3.
$\frac{5(x + 2)}{15(x + 3)} - \frac{3(4 - x)}{15(x + 3)} = \frac{5x + 10}{15(x + 3)} - \frac{12 - 3x}{15(x + 3)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(5x + 10) - (12 - 3x)}{15(x + 3)} = \frac{5x + 10 - 12 + 3x}{15(x + 3)} = \frac{8x - 2}{15(x + 3)}$
Ответ: $\frac{8x - 2}{15(x + 3)}$

3) $\frac{m + 1}{m - 3} - \frac{m + 2}{m + 3}$

Общий знаменатель для дробей равен произведению их знаменателей: $(m - 3)(m + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(m + 1)(m + 3)}{(m - 3)(m + 3)} - \frac{(m + 2)(m - 3)}{(m - 3)(m + 3)}$
Раскроем скобки в числителях:
$\frac{m^2 + 3m + m + 3}{m^2 - 9} - \frac{m^2 - 3m + 2m - 6}{m^2 - 9} = \frac{m^2 + 4m + 3}{m^2 - 9} - \frac{m^2 - m - 6}{m^2 - 9}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(m^2 + 4m + 3) - (m^2 - m - 6)}{m^2 - 9} = \frac{m^2 + 4m + 3 - m^2 + m + 6}{m^2 - 9} = \frac{5m + 9}{m^2 - 9}$
Ответ: $\frac{5m + 9}{m^2 - 9}$

4) $\frac{x}{x + y} - \frac{2y^2}{y^2 - x^2} - \frac{y}{x - y}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)$.
Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:
$\frac{x}{x + y} + \frac{2y^2}{(x - y)(x + y)} - \frac{y}{x - y}$
Общий знаменатель: $(x + y)(x - y)$.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - y)}{(x + y)(x - y)} + \frac{2y^2}{(x + y)(x - y)} - \frac{y(x + y)}{(x + y)(x - y)}$
Объединим числители:
$\frac{x(x - y) + 2y^2 - y(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{x^2 - xy + 2y^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^2}{(x - y)(x + y)}$
Сократим дробь на $(x - y)$:
$\frac{x - y}{x + y}$
Ответ: $\frac{x - y}{x + y}$

5) $\frac{m}{3m - 2n} - \frac{3m^2 - 3mn}{9m^2 - 12mn + 4n^2}$

Заметим, что знаменатель второй дроби является квадратом разности:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2(3m)(2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2$.
Общий знаменатель равен $(3m - 2n)^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(3m - 2n)$:
$\frac{m(3m - 2n)}{(3m - 2n)^2} - \frac{3m^2 - 3mn}{(3m - 2n)^2} = \frac{3m^2 - 2mn}{(3m - 2n)^2} - \frac{3m^2 - 3mn}{(3m - 2n)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(3m^2 - 2mn) - (3m^2 - 3mn)}{(3m - 2n)^2} = \frac{3m^2 - 2mn - 3m^2 + 3mn}{(3m - 2n)^2} = \frac{mn}{(3m - 2n)^2}$
Ответ: $\frac{mn}{(3m - 2n)^2}$

6) $\frac{a + 3}{a^2 - 2a} - \frac{a - 2}{5a - 10} + \frac{a + 2}{5a}$

Разложим знаменатели на множители:
$a^2 - 2a = a(a - 2)$
$5a - 10 = 5(a - 2)$
Общий знаменатель: $5a(a - 2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{5(a + 3)}{5a(a - 2)} - \frac{a(a - 2)}{5a(a - 2)} + \frac{(a + 2)(a - 2)}{5a(a - 2)}$
Раскроем скобки и объединим числители:
$\frac{5a + 15 - (a^2 - 2a) + (a^2 - 4)}{5a(a - 2)} = \frac{5a + 15 - a^2 + 2a + a^2 - 4}{5a(a - 2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{7a + 11}{5a(a - 2)}$
Ответ: $\frac{7a + 11}{5a(a - 2)}$

7) $\frac{3}{3a - 3} - \frac{a - 1}{2a^2 - 4a + 2}$

Разложим знаменатели на множители:
$3a - 3 = 3(a - 1)$
$2a^2 - 4a + 2 = 2(a^2 - 2a + 1) = 2(a - 1)^2$
Общий знаменатель: $6(a - 1)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3 \cdot 2(a - 1)}{6(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2} = \frac{6(a - 1)}{6(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{6(a - 1) - 3(a - 1)}{6(a - 1)^2} = \frac{(6-3)(a-1)}{6(a-1)^2} = \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2}$
Сократим дробь на $3(a - 1)$:
$\frac{1}{2(a - 1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(a - 1)}$

8) $2 - \frac{14}{m - 2} - m$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $(m - 2)$:
$\frac{2(m - 2)}{m - 2} - \frac{14}{m - 2} - \frac{m(m - 2)}{m - 2}$
Раскроем скобки и объединим числители:
$\frac{2m - 4 - 14 - (m^2 - 2m)}{m - 2} = \frac{2m - 18 - m^2 + 2m}{m - 2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-m^2 + 4m - 18}{m - 2}$
Можно вынести минус из числителя:
$-\frac{m^2 - 4m + 18}{m - 2}$
Ответ: $\frac{-m^2 + 4m - 18}{m - 2}$

9) $\frac{2x + 1}{x^2 - 6x + 9} - \frac{8}{x^2 - 9} - \frac{2x - 1}{x^2 + 6x + 9}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
Общий знаменатель: $(x - 3)^2(x + 3)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(2x + 1)(x + 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2} - \frac{8(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)^2} - \frac{(2x - 1)(x - 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$
Раскроем скобки в числителях:
$(2x + 1)(x^2 + 6x + 9) = 2x^3 + 12x^2 + 18x + x^2 + 6x + 9 = 2x^3 + 13x^2 + 24x + 9$
$8(x^2 - 9) = 8x^2 - 72$
$(2x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 2x^3 - 12x^2 + 18x - x^2 + 6x - 9 = 2x^3 - 13x^2 + 24x - 9$
Объединим числители:
$\frac{(2x^3 + 13x^2 + 24x + 9) - (8x^2 - 72) - (2x^3 - 13x^2 + 24x - 9)}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$
Упростим числитель:
$\frac{2x^3 + 13x^2 + 24x + 9 - 8x^2 + 72 - 2x^3 + 13x^2 - 24x + 9}{(x^2 - 9)^2}$
$\frac{(2x^3 - 2x^3) + (13x^2 - 8x^2 + 13x^2) + (24x - 24x) + (9 + 72 + 9)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{18x^2 + 90}{(x^2 - 9)^2}$
Ответ: $\frac{18x^2 + 90}{(x^2 - 9)^2}$