Номер 844, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 844, страница 215.

Условие.

844. Найдите значение выражения:

1) $\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7}$, если $x = -0,2$, $y = 0,5$;

2) $\frac{4a^2 - 36}{5a^2 - 30a + 45}$, если $a = 2$;

3) $\frac{(3a + 3b)^2}{3a^2 - 3b^2}$, если $a = \frac{1}{3}$, $b = -\frac{1}{6}$;

4) $\frac{20x^2 - 140xy + 245y^2}{4x - 14y}$, если $2x - 7y = -0,5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Сначала упростим данное выражение. Для этого вынесем в числителе общий множитель $x^3y^7$ за скобки:

$\frac{x^5y^7 - x^3y^9}{x^3y^7} = \frac{x^3y^7(x^2 - y^2)}{x^3y^7}$

Теперь сократим дробь на $x^3y^7$ (это возможно, так как по условию $x \neq 0$ и $y \neq 0$):

$x^2 - y^2$

Подставим в полученное выражение значения $x = -0,2$ и $y = 0,5$:

$(-0,2)^2 - (0,5)^2 = 0,04 - 0,25 = -0,21$

Ответ: -0,21

2) Сначала упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 4 и применим формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$4a^2 - 36 = 4(a^2 - 9) = 4(a-3)(a+3)$

В знаменателе вынесем общий множитель 5 и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$5a^2 - 30a + 45 = 5(a^2 - 6a + 9) = 5(a-3)^2$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $(a-3)$ (это возможно, так как $a=2$, следовательно $a-3 \neq 0$):

$\frac{4(a-3)(a+3)}{5(a-3)^2} = \frac{4(a+3)}{5(a-3)}$

Подставим значение $a = 2$ в упрощенное выражение:

$\frac{4(2+3)}{5(2-3)} = \frac{4 \cdot 5}{5 \cdot (-1)} = \frac{20}{-5} = -4$

Ответ: -4

3) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 3 из скобок:

$(3a + 3b)^2 = (3(a+b))^2 = 9(a+b)^2$

В знаменателе вынесем общий множитель 3 и применим формулу разности квадратов:

$3a^2 - 3b^2 = 3(a^2 - b^2) = 3(a-b)(a+b)$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $3(a+b)$ (это возможно, так как $a+b = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} \neq 0$):

$\frac{9(a+b)^2}{3(a-b)(a+b)} = \frac{3(a+b)}{a-b}$

Теперь найдем значения выражений $a+b$ и $a-b$ при $a = \frac{1}{3}$ и $b = -\frac{1}{6}$:

$a+b = \frac{1}{3} + (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$

$a-b = \frac{1}{3} - (-\frac{1}{6}) = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Подставим найденные значения в упрощенное выражение:

$\frac{3 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{3}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}} = 1$

Ответ: 1

4) Упростим выражение, разложив числитель и знаменатель на множители.

В числителе вынесем общий множитель 5 и заметим, что выражение в скобках является полным квадратом разности $(2x-7y)^2$:

$20x^2 - 140xy + 245y^2 = 5(4x^2 - 28xy + 49y^2) = 5((2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 7y + (7y)^2) = 5(2x-7y)^2$

В знаменателе вынесем общий множитель 2:

$4x - 14y = 2(2x-7y)$

Запишем выражение в новом виде и сократим дробь на $(2x-7y)$ (это возможно, так как по условию $2x-7y = -0,5 \neq 0$):

$\frac{5(2x-7y)^2}{2(2x-7y)} = \frac{5(2x-7y)}{2}$

Теперь подставим известное значение $2x - 7y = -0,5$ в упрощенное выражение:

$\frac{5 \cdot (-0,5)}{2} = \frac{-2,5}{2} = -1,25$

Ответ: -1,25