Номер 848, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 848, страница 216.

Условие.

848. Упростите выражение:

1) $\frac{7y}{y^2-4} - \frac{14}{y^2-4}$;

2) $\frac{y^2-3y}{25-y^2} - \frac{7y-25}{25-y^2}$;

3) $\frac{9p+5}{3p+6} - \frac{10p-12}{3p+6} + \frac{9p-1}{3p+6}$;

4) $\frac{7x+5}{3-x} + \frac{5x+11}{x-3}$;

5) $\frac{(3a-1)^2}{4a-4} + \frac{(a-3)^2}{4-4a}$;

6) $\frac{x^2-3x}{(2-x)^2} - \frac{x-4}{(x-2)^2}$;

7) $\frac{7}{a-2} - \frac{b}{2-a}$;

8) $\frac{6a}{5-a} - \frac{4a}{a-5}$;

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное выражение: $\frac{7y}{y^2 - 4} - \frac{14}{y^2 - 4}$.

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их, вычитая числители:

$\frac{7y - 14}{y^2 - 4}$

Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 7 за скобки. Знаменатель является разностью квадратов $y^2 - 2^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{7(y - 2)}{(y - 2)(y + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$, при условии что $y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$.

$\frac{7}{y + 2}$

Ответ: $\frac{7}{y + 2}$

2)

Исходное выражение: $\frac{y^2 - 3y}{25 - y^2} - \frac{7y - 25}{25 - y^2}$.

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему числителю.

$\frac{(y^2 - 3y) - (7y - 25)}{25 - y^2} = \frac{y^2 - 3y - 7y + 25}{25 - y^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^2 - 10y + 25}{25 - y^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это полный квадрат $(y - 5)^2$. Знаменатель — это разность квадратов $5^2 - y^2 = (5 - y)(5 + y)$.

$\frac{(y - 5)^2}{(5 - y)(5 + y)}$

Так как $(y - 5) = -(5 - y)$, то $(y - 5)^2 = (-(5 - y))^2 = (5 - y)^2$. Заменим это в выражении:

$\frac{(5 - y)^2}{(5 - y)(5 + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(5 - y)$, при условии что $y \neq 5$.

$\frac{5 - y}{5 + y}$

Ответ: $\frac{5 - y}{5 + y}$

3)

Исходное выражение: $\frac{9p + 5}{3p + 6} - \frac{10p - 12}{3p + 6} + \frac{9p - 1}{3p + 6}$.

Все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому выполним действия с числителями:

$\frac{(9p + 5) - (10p - 12) + (9p - 1)}{3p + 6}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{9p + 5 - 10p + 12 + 9p - 1}{3p + 6} = \frac{(9p - 10p + 9p) + (5 + 12 - 1)}{3p + 6} = \frac{8p + 16}{3p + 6}$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{8(p + 2)}{3(p + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p + 2)$, при условии что $p \neq -2$.

$\frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

4)

Исходное выражение: $\frac{7x + 5}{3 - x} + \frac{5x + 11}{x - 3}$.

Заметим, что знаменатели $3 - x$ и $x - 3$ являются противоположными выражениями, так как $x - 3 = -(3 - x)$. Приведем вторую дробь к знаменателю первой, вынеся минус за знак дроби.

$\frac{7x + 5}{3 - x} + \frac{5x + 11}{-(3 - x)} = \frac{7x + 5}{3 - x} - \frac{5x + 11}{3 - x}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{(7x + 5) - (5x + 11)}{3 - x} = \frac{7x + 5 - 5x - 11}{3 - x} = \frac{2x - 6}{3 - x}$

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$\frac{2(x - 3)}{3 - x}$

Используем снова соотношение $x - 3 = -(3 - x)$:

$\frac{2(-(3 - x))}{3 - x} = -2$

Ответ: $-2$

5)

Исходное выражение: $\frac{(3a - 1)^2}{4a - 4} + \frac{(a - 3)^2}{4 - 4a}$.

Преобразуем знаменатели: $4a - 4 = 4(a - 1)$ и $4 - 4a = -4(a - 1)$. Знаменатели отличаются знаком. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{(3a - 1)^2}{4(a - 1)} + \frac{(a - 3)^2}{-4(a - 1)} = \frac{(3a - 1)^2}{4(a - 1)} - \frac{(a - 3)^2}{4(a - 1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(3a - 1)^2 - (a - 3)^2}{4(a - 1)}$

Числитель является разностью квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$\frac{((3a - 1) - (a - 3))((3a - 1) + (a - 3))}{4(a - 1)} = \frac{(3a - 1 - a + 3)(3a - 1 + a - 3)}{4(a - 1)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{(2a + 2)(4a - 4)}{4(a - 1)} = \frac{2(a + 1) \cdot 4(a - 1)}{4(a - 1)}$

Сократим дробь на $4(a - 1)$, при условии что $a \neq 1$.

$2(a + 1)$

Ответ: $2(a + 1)$

6)

Исходное выражение: $\frac{x^2 - 3x}{(2 - x)^2} - \frac{x - 4}{(x - 2)^2}$.

Заметим, что $(2 - x)^2 = (-(x - 2))^2 = (x - 2)^2$. Таким образом, знаменатели дробей равны.

$\frac{x^2 - 3x}{(x - 2)^2} - \frac{x - 4}{(x - 2)^2}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(x^2 - 3x) - (x - 4)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 3x - x + 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^2}$

Числитель $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x - 2)^2$.

$\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2}$

При условии, что $x \neq 2$, дробь равна 1.

Ответ: $1$

7)

Исходное выражение: $\frac{7}{a - 2} - \frac{b}{2 - a}$.

Знаменатель второй дроби $2 - a$ можно представить как $-(a - 2)$. Вынесем этот минус перед дробью:

$\frac{7}{a - 2} - \frac{b}{-(a - 2)} = \frac{7}{a - 2} + \frac{b}{a - 2}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7 + b}{a - 2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{7 + b}{a - 2}$

8)

Исходное выражение: $\frac{6a}{5 - a} - \frac{4a}{a - 5}$.

Знаменатели являются противоположными выражениями, так как $a - 5 = -(5 - a)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6a}{5 - a} - \frac{4a}{-(5 - a)} = \frac{6a}{5 - a} + \frac{4a}{5 - a}$

Сложим числители:

$\frac{6a + 4a}{5 - a} = \frac{10a}{5 - a}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{10a}{5 - a}$