Номер 843, страница 215 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 843, страница 215.

Условие.

843. Сократите дробь:

1) $\frac{3x - 6y}{3x};$

2) $\frac{3a + 9b}{4a + 12b};$

3) $\frac{a^2 - 49}{3a + 21};$

4) $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x};$

5) $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9};$

6) $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5};$

7) $\frac{a^3 + 64}{3a + 12};$

8) $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25};$

9) $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14};$

10) $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2};$

11) $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2};$

12) $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{3x - 6y}{3x}$, вынесем общий множитель 3 в числителе:
$\frac{3(x - 2y)}{3x}$
Теперь сократим общий множитель 3 в числителе и знаменателе:
$\frac{x - 2y}{x}$
Ответ: $\frac{x - 2y}{x}$

2) В дроби $\frac{3a + 9b}{4a + 12b}$ вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе общий множитель 3: $3a + 9b = 3(a + 3b)$.
В знаменателе общий множитель 4: $4a + 12b = 4(a + 3b)$.
Получаем дробь: $\frac{3(a + 3b)}{4(a + 3b)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 3b)$:
$\frac{3}{4}$
Ответ: $\frac{3}{4}$

3) Рассмотрим дробь $\frac{a^2 - 49}{3a + 21}$.
Числитель $a^2 - 49$ является разностью квадратов: $a^2 - 7^2 = (a - 7)(a + 7)$.
В знаменателе $3a + 21$ вынесем общий множитель 3: $3(a + 7)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a - 7)(a + 7)}{3(a + 7)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 7)$:
$\frac{a - 7}{3}$
Ответ: $\frac{a - 7}{3}$

4) В дроби $\frac{12x^2 - 4x}{2 - 6x}$ вынесем общие множители.
В числителе $12x^2 - 4x$ выносим $4x$: $4x(3x - 1)$.
В знаменателе $2 - 6x$ выносим $-2$, чтобы получить выражение, схожее с числителем: $-2(-1 + 3x) = -2(3x - 1)$.
Получаем: $\frac{4x(3x - 1)}{-2(3x - 1)}$
Сокращаем на общий множитель $(3x - 1)$ и на 2:
$\frac{4x}{-2} = -2x$
Ответ: $-2x$

5) Рассмотрим дробь $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 6x + 9}$.
Числитель $x^2 - 9$ — это разность квадратов: $(x - 3)(x + 3)$.
Знаменатель $x^2 + 6x + 9$ — это квадрат суммы: $(x + 3)^2$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 3)^2}$
Сокращаем на общий множитель $(x + 3)$:
$\frac{x - 3}{x + 3}$
Ответ: $\frac{x - 3}{x + 3}$

6) В дроби $\frac{b^7 + b^4}{b^2 + b^5}$ вынесем общие множители.
В числителе выносим $b^4$: $b^4(b^3 + 1)$.
В знаменателе выносим $b^2$: $b^2(1 + b^3)$.
Получаем: $\frac{b^4(b^3 + 1)}{b^2(1 + b^3)}$
Сокращаем на общий множитель $(b^3 + 1)$ и на $b^2$:
$\frac{b^4}{b^2} = b^{4-2} = b^2$
Ответ: $b^2$

7) Рассмотрим дробь $\frac{a^3 + 64}{3a + 12}$.
Числитель $a^3 + 64$ — это сумма кубов: $a^3 + 4^3 = (a + 4)(a^2 - 4a + 16)$.
В знаменателе вынесем общий множитель 3: $3(a + 4)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + 4)(a^2 - 4a + 16)}{3(a + 4)}$
Сокращаем на общий множитель $(a + 4)$:
$\frac{a^2 - 4a + 16}{3}$
Ответ: $\frac{a^2 - 4a + 16}{3}$

8) В дроби $\frac{xb - 5y + 5b - xy}{x^2 - 25}$ преобразуем числитель методом группировки.
Числитель: $xb - 5y + 5b - xy = (xb + 5b) - (xy + 5y) = b(x + 5) - y(x + 5) = (x + 5)(b - y)$.
Знаменатель $x^2 - 25$ — это разность квадратов: $(x - 5)(x + 5)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x + 5)(b - y)}{(x - 5)(x + 5)}$
Сокращаем на общий множитель $(x + 5)$:
$\frac{b - y}{x - 5}$
Ответ: $\frac{b - y}{x - 5}$

9) Рассмотрим дробь $\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14}$.
В числителе вынесем общий множитель 7: $7(m^2 - m + 1)$.
В знаменателе вынесем 14: $14(m^3 + 1)$.
Выражение $m^3 + 1$ — это сумма кубов: $(m + 1)(m^2 - m + 1)$.
Дробь принимает вид: $\frac{7(m^2 - m + 1)}{14(m + 1)(m^2 - m + 1)}$
Сокращаем на общий множитель $(m^2 - m + 1)$ и на 7:
$\frac{7}{14(m+1)} = \frac{1}{2(m+1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(m + 1)}$

10) В дроби $\frac{a^2 + bc - b^2 + ac}{ab + c^2 + ac - b^2}$ преобразуем числитель и знаменатель методом группировки.
Числитель: $a^2 + bc - b^2 + ac = (a^2 - b^2) + (ac + bc) = (a - b)(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a - b + c)$.
Знаменатель: $ab + c^2 + ac - b^2 = (c^2 - b^2) + (ab + ac) = (c - b)(c + b) + a(b + c) = (b + c)(c - b + a)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(a + b)(a - b + c)}{(c + b)(a - b + c)}$
Сокращаем на общий множитель $(a - b + c)$:
$\frac{a + b}{c + b}$
Ответ: $\frac{a + b}{c + b}$

11) Рассмотрим дробь $\frac{20mn^2 - 20m^2n + 5m^3}{10mn - 5m^2}$.
В числителе вынесем общий множитель $5m$: $5m(4n^2 - 4mn + m^2)$.
Выражение в скобках $m^2 - 4mn + 4n^2$ является полным квадратом разности: $(m - 2n)^2$.
Числитель: $5m(m - 2n)^2$.
В знаменателе вынесем общий множитель $5m$: $5m(2n - m)$.
Дробь принимает вид: $\frac{5m(m - 2n)^2}{5m(2n - m)}$. Заметим, что $(m - 2n) = -(2n-m)$.
$\frac{5m(m-2n)^2}{-5m(m-2n)} = -(m-2n) = 2n-m$
Сокращаем на $5m$ и на $(m-2n)$:
Ответ: $2n - m$

12) В дроби $\frac{x^2 - yz + xz - y^2}{x^2 + yz - xz - y^2}$ применим метод группировки.
Числитель: $x^2 - yz + xz - y^2 = (x^2 - y^2) + (xz - yz) = (x - y)(x + y) + z(x - y) = (x - y)(x + y + z)$.
Знаменатель: $x^2 + yz - xz - y^2 = (x^2 - y^2) - (xz - yz) = (x - y)(x + y) - z(x - y) = (x - y)(x + y - z)$.
Дробь принимает вид: $\frac{(x - y)(x + y + z)}{(x - y)(x + y - z)}$
Сокращаем на общий множитель $(x - y)$:
$\frac{x + y + z}{x + y - z}$
Ответ: $\frac{x + y + z}{x + y - z}$