Номер 845, страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 845, страница 216.

Условие.

845. Сократите дробь (n – натуральное число):

1) $\frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}};$

2) $\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n};$

3) $\frac{5^{n+1} - 5^n}{2 \cdot 5^n};$

4) $\frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}};$

5) $\frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для сокращения дроби $\frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}}$ представим число 100 в виде произведения простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.
1. Разложим 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
2. Подставим это в числитель: $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{2^{2n}}{2^{2n+3}} \cdot \frac{5^{2n}}{5^{2n+1}} = 2^{2n - (2n+3)} \cdot 5^{2n - (2n+1)} = 2^{2n - 2n - 3} \cdot 5^{2n - 2n - 1} = 2^{-3} \cdot 5^{-1}$
5. Вычислим результат:
$2^{-3} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{5^1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$.
Ответ: $\frac{1}{40}$.

2)

Сократим дробь $\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n}$.
1. Разложим числа 6 и 28 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$, поэтому $28^n = (2^2 \cdot 7)^n = 2^{2n} \cdot 7^n$.
2. Подставим разложения в знаменатель: $6 \cdot 28^n = (2 \cdot 3) \cdot (2^{2n} \cdot 7^n) = 2^{1+2n} \cdot 3 \cdot 7^n$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 3 \cdot 7^n}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{2n+1}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{1}{3} = 2^{(2n+1)-(2n+1)} \cdot 7^{(n+1)-n} \cdot \frac{1}{3} = 2^0 \cdot 7^1 \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot 7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

3)

Сократим дробь $\frac{5^{n+1} - 5^n}{2 \cdot 5^n}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $5^n$:
$5^{n+1} - 5^n = 5^n \cdot 5^1 - 5^n = 5^n(5 - 1) = 4 \cdot 5^n$.
2. Подставим полученное выражение в числитель:
$\frac{4 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^n}$
3. Сократим общий множитель $5^n$:
$\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$.

4)

Сократим дробь $\frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}}$.
1. Разложим 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
2. Подставим это в числитель: $18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^n \cdot 3^{2n}}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^n}{2^{n+3}} \cdot \frac{3^{2n}}{3^{2n+2}} = 2^{n - (n+3)} \cdot 3^{2n - (2n+2)} = 2^{n - n - 3} \cdot 3^{2n - 2n - 2} = 2^{-3} \cdot 3^{-2}$
5. Вычислим результат:
$2^{-3} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$.

5)

Сократим дробь $\frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n}$.
1. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $9^n$:
$9^{n+2} + 9^n = 9^n \cdot 9^2 + 9^n = 9^n(9^2 + 1) = 9^n(81 + 1) = 82 \cdot 9^n$.
2. Подставим полученное выражение в знаменатель:
$\frac{41 \cdot 9^n}{82 \cdot 9^n}$
3. Сократим общий множитель $9^n$:
$\frac{41}{82}$
4. Сократим дробь:
$\frac{41}{82} = \frac{41}{2 \cdot 41} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.