Страница 216 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

845. Сократите дробь (n – натуральное число):

1) $\frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}};$

2) $\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n};$

3) $\frac{5^{n+1} - 5^n}{2 \cdot 5^n};$

4) $\frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}};$

5) $\frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n}.$

1)

Для сокращения дроби $\frac{100^n}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}}$ представим число 100 в виде произведения простых множителей и воспользуемся свойствами степеней.
1. Разложим 100 на простые множители: $100 = 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2$.
2. Подставим это в числитель: $100^n = (2^2 \cdot 5^2)^n = 2^{2n} \cdot 5^{2n}$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^{2n} \cdot 5^{2n}}{2^{2n+3} \cdot 5^{2n+1}}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями, используя правило $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:
$\frac{2^{2n}}{2^{2n+3}} \cdot \frac{5^{2n}}{5^{2n+1}} = 2^{2n - (2n+3)} \cdot 5^{2n - (2n+1)} = 2^{2n - 2n - 3} \cdot 5^{2n - 2n - 1} = 2^{-3} \cdot 5^{-1}$
5. Вычислим результат:
$2^{-3} \cdot 5^{-1} = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{5^1} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{40}$.
Ответ: $\frac{1}{40}$.

2)

Сократим дробь $\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{6 \cdot 28^n}$.
1. Разложим числа 6 и 28 на простые множители:
$6 = 2 \cdot 3$
$28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$, поэтому $28^n = (2^2 \cdot 7)^n = 2^{2n} \cdot 7^n$.
2. Подставим разложения в знаменатель: $6 \cdot 28^n = (2 \cdot 3) \cdot (2^{2n} \cdot 7^n) = 2^{1+2n} \cdot 3 \cdot 7^n$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^{2n+1} \cdot 7^{n+1}}{2^{2n+1} \cdot 3 \cdot 7^n}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^{2n+1}}{2^{2n+1}} \cdot \frac{7^{n+1}}{7^n} \cdot \frac{1}{3} = 2^{(2n+1)-(2n+1)} \cdot 7^{(n+1)-n} \cdot \frac{1}{3} = 2^0 \cdot 7^1 \cdot \frac{1}{3} = 1 \cdot 7 \cdot \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

3)

Сократим дробь $\frac{5^{n+1} - 5^n}{2 \cdot 5^n}$.
1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $5^n$:
$5^{n+1} - 5^n = 5^n \cdot 5^1 - 5^n = 5^n(5 - 1) = 4 \cdot 5^n$.
2. Подставим полученное выражение в числитель:
$\frac{4 \cdot 5^n}{2 \cdot 5^n}$
3. Сократим общий множитель $5^n$:
$\frac{4}{2} = 2$.
Ответ: $2$.

4)

Сократим дробь $\frac{18^n}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}}$.
1. Разложим 18 на простые множители: $18 = 2 \cdot 9 = 2 \cdot 3^2$.
2. Подставим это в числитель: $18^n = (2 \cdot 3^2)^n = 2^n \cdot 3^{2n}$.
3. Запишем исходную дробь с новыми основаниями:
$\frac{2^n \cdot 3^{2n}}{3^{2n+2} \cdot 2^{n+3}}$
4. Сократим степени с одинаковыми основаниями:
$\frac{2^n}{2^{n+3}} \cdot \frac{3^{2n}}{3^{2n+2}} = 2^{n - (n+3)} \cdot 3^{2n - (2n+2)} = 2^{n - n - 3} \cdot 3^{2n - 2n - 2} = 2^{-3} \cdot 3^{-2}$
5. Вычислим результат:
$2^{-3} \cdot 3^{-2} = \frac{1}{2^3} \cdot \frac{1}{3^2} = \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{9} = \frac{1}{72}$.
Ответ: $\frac{1}{72}$.

5)

Сократим дробь $\frac{41 \cdot 9^n}{9^{n+2} + 9^n}$.
1. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $9^n$:
$9^{n+2} + 9^n = 9^n \cdot 9^2 + 9^n = 9^n(9^2 + 1) = 9^n(81 + 1) = 82 \cdot 9^n$.
2. Подставим полученное выражение в знаменатель:
$\frac{41 \cdot 9^n}{82 \cdot 9^n}$
3. Сократим общий множитель $9^n$:
$\frac{41}{82}$
4. Сократим дробь:
$\frac{41}{82} = \frac{41}{2 \cdot 41} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

846. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $(a+2)x=7;$

2) $(a+6)x=a+6;$

3) $(a+3)x=a^2+6a+9;$

4) $(a^2-4)x=a-2.$

1) Рассматриваем уравнение $(a + 2)x = 7$. Это линейное уравнение относительно $x$. Его решение зависит от значения коэффициента при $x$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $a + 2$:

$x = \frac{7}{a + 2}$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -2 + 2 )x = 7$

$0 \cdot x = 7$

$0 = 7$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -2$, корней нет; если $a \neq -2$, то $x = \frac{7}{a + 2}$.

2) Рассматриваем уравнение $(a + 6)x = a + 6$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 6 \neq 0$, то есть $a \neq -6$.

Разделим обе части уравнения на $a + 6$:

$x = \frac{a + 6}{a + 6}$

$x = 1$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 6 = 0$, то есть $a = -6$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -6 + 6 )x = -6 + 6$

$0 \cdot x = 0$

$0 = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -6$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a = -6$, то $x$ - любое число; если $a \neq -6$, то $x = 1$.

3) Рассматриваем уравнение $(a + 3)x = a^2 + 6a + 9$.

Заметим, что правая часть уравнения является полным квадратом: $a^2 + 6a + 9 = (a + 3)^2$.

Тогда уравнение принимает вид: $(a + 3)x = (a + 3)^2$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a + 3 \neq 0$, то есть $a \neq -3$.

Разделим обе части уравнения на $a + 3$:

$x = \frac{(a + 3)^2}{a + 3}$

$x = a + 3$

Случай 2: Коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 3 = 0$, то есть $a = -3$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$( -3 + 3 )x = (-3)^2 + 6(-3) + 9$

$0 \cdot x = 9 - 18 + 9$

$0 \cdot x = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = -3$ корнем уравнения является любое число.

Ответ: если $a = -3$, то $x$ - любое число; если $a \neq -3$, то $x = a + 3$.

4) Рассматриваем уравнение $(a^2 - 4)x = a - 2$.

Разложим на множители коэффициент при $x$: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$.

Уравнение принимает вид: $(a - 2)(a + 2)x = a - 2$.

Решение зависит от значения коэффициента при $x$, который обращается в ноль при $a = 2$ и $a = -2$.

Случай 1: Коэффициент при $x$ не равен нулю.

$a^2 - 4 \neq 0$, то есть $a \neq 2$ и $a \neq -2$.

Разделим обе части уравнения на $a^2 - 4$:

$x = \frac{a - 2}{a^2 - 4} = \frac{a - 2}{(a - 2)(a + 2)}$

Так как $a \neq 2$, то $a - 2 \neq 0$, и мы можем сократить дробь:

$x = \frac{1}{a + 2}$

Случай 2: $a = 2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$(2^2 - 4)x = 2 - 2$

$0 \cdot x = 0$

Получено верное равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Следовательно, при $a = 2$ корнем уравнения является любое число.

Случай 3: $a = -2$.

Подставим это значение $a$ в исходное уравнение:

$((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$

$(4 - 4)x = -4$

$0 \cdot x = -4$

Получено неверное равенство, следовательно, при $a = -2$ уравнение не имеет корней.

Ответ: если $a = -2$, корней нет; если $a = 2$, $x$ - любое число; если $a \neq 2$ и $a \neq -2$, то $x = \frac{1}{a + 2}$.

847. Представьте в виде дроби выражение:

1) $\frac{7a}{22} + \frac{4a}{22}$;

2) $\frac{8x}{3y} - \frac{5x}{3y}$;

3) $\frac{7x - 2y}{15p} + \frac{3x + 7y}{15p}$;

4) $\frac{x+y}{9p} - \frac{x}{9p}$;

5) $\frac{a}{8} - \frac{a-b}{8}$;

6) $\frac{7p-17}{5k} + \frac{7-2p}{5k}$;

7) $\frac{6a^2-4a}{15a} - \frac{a^2+a}{15a}$;

8) $\frac{x-y}{8} + \frac{x+y}{8}$;

9) $\frac{10x-6}{x} - \frac{4x+11}{x}$.

1) Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений. После этого, если возможно, сократить полученную дробь.

$\frac{7a}{22} + \frac{4a}{22} = \frac{7a + 4a}{22} = \frac{11a}{22}$

Сократим числитель и знаменатель на 11:

$\frac{11a}{22} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$

2) Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель оставить прежним. Затем сократить результат.

$\frac{8x}{3y} - \frac{5x}{3y} = \frac{8x - 5x}{3y} = \frac{3x}{3y}$

Сократим числитель и знаменатель на 3:

$\frac{3x}{3y} = \frac{x}{y}$

Ответ: $\frac{x}{y}$

3) Складываем дроби с одинаковым знаменателем. Для этого складываем их числители.

$\frac{7x - 2y}{15p} + \frac{3x + 7y}{15p} = \frac{(7x - 2y) + (3x + 7y)}{15p}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{7x - 2y + 3x + 7y}{15p} = \frac{(7x+3x) + (-2y+7y)}{15p} = \frac{10x + 5y}{15p}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе и сократим дробь:

$\frac{5(2x + y)}{15p} = \frac{2x + y}{3p}$

Ответ: $\frac{2x + y}{3p}$

4) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем, вычитая их числители.

$\frac{x + y}{9p} - \frac{x}{9p} = \frac{(x + y) - x}{9p} = \frac{x + y - x}{9p} = \frac{y}{9p}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{y}{9p}$

5) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем. Важно правильно раскрыть скобки при вычитании числителя второй дроби.

$\frac{a}{8} - \frac{a - b}{8} = \frac{a - (a - b)}{8} = \frac{a - a + b}{8} = \frac{b}{8}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{b}{8}$

6) Складываем дроби с одинаковым знаменателем.

$\frac{7p - 17}{5k} + \frac{7 - 2p}{5k} = \frac{(7p - 17) + (7 - 2p)}{5k}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{7p - 17 + 7 - 2p}{5k} = \frac{(7p-2p) + (-17+7)}{5k} = \frac{5p - 10}{5k}$

Вынесем общий множитель 5 в числителе и сократим дробь:

$\frac{5(p - 2)}{5k} = \frac{p - 2}{k}$

Ответ: $\frac{p - 2}{k}$

7) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем.

$\frac{6a^2 - 4a}{15a} - \frac{a^2 + a}{15a} = \frac{(6a^2 - 4a) - (a^2 + a)}{15a}$

Раскрываем скобки в числителе, меняя знаки на противоположные, и приводим подобные слагаемые:

$\frac{6a^2 - 4a - a^2 - a}{15a} = \frac{(6a^2-a^2) + (-4a-a)}{15a} = \frac{5a^2 - 5a}{15a}$

Вынесем общий множитель $5a$ в числителе и сократим дробь (при условии, что $a \neq 0$):

$\frac{5a(a - 1)}{15a} = \frac{a - 1}{3}$

Ответ: $\frac{a - 1}{3}$

8) Складываем дроби с одинаковым знаменателем.

$\frac{x - y}{8} + \frac{x + y}{8} = \frac{(x - y) + (x + y)}{8}$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\frac{x - y + x + y}{8} = \frac{2x}{8}$

Сократим дробь на 2:

$\frac{2x}{8} = \frac{x}{4}$

Ответ: $\frac{x}{4}$

9) Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем.

$\frac{10x - 6}{x} - \frac{4x + 11}{x} = \frac{(10x - 6) - (4x + 11)}{x}$

Раскрываем скобки в числителе и приводим подобные слагаемые:

$\frac{10x - 6 - 4x - 11}{x} = \frac{(10x - 4x) + (-6 - 11)}{x} = \frac{6x - 17}{x}$

Дробь сократить нельзя.

Ответ: $\frac{6x - 17}{x}$

848. Упростите выражение:

1) $\frac{7y}{y^2-4} - \frac{14}{y^2-4}$;

2) $\frac{y^2-3y}{25-y^2} - \frac{7y-25}{25-y^2}$;

3) $\frac{9p+5}{3p+6} - \frac{10p-12}{3p+6} + \frac{9p-1}{3p+6}$;

4) $\frac{7x+5}{3-x} + \frac{5x+11}{x-3}$;

5) $\frac{(3a-1)^2}{4a-4} + \frac{(a-3)^2}{4-4a}$;

6) $\frac{x^2-3x}{(2-x)^2} - \frac{x-4}{(x-2)^2}$;

7) $\frac{7}{a-2} - \frac{b}{2-a}$;

8) $\frac{6a}{5-a} - \frac{4a}{a-5}$;

1)

Исходное выражение: $\frac{7y}{y^2 - 4} - \frac{14}{y^2 - 4}$.

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем объединить их, вычитая числители:

$\frac{7y - 14}{y^2 - 4}$

Теперь упростим полученную дробь. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе вынесем общий множитель 7 за скобки. Знаменатель является разностью квадратов $y^2 - 2^2$, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$\frac{7(y - 2)}{(y - 2)(y + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(y - 2)$, при условии что $y - 2 \neq 0$, то есть $y \neq 2$.

$\frac{7}{y + 2}$

Ответ: $\frac{7}{y + 2}$

2)

Исходное выражение: $\frac{y^2 - 3y}{25 - y^2} - \frac{7y - 25}{25 - y^2}$.

Знаменатели дробей одинаковы, поэтому вычитаем числители. Обратите внимание на знак минус перед второй дробью, он относится ко всему числителю.

$\frac{(y^2 - 3y) - (7y - 25)}{25 - y^2} = \frac{y^2 - 3y - 7y + 25}{25 - y^2}$

Приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{y^2 - 10y + 25}{25 - y^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители. Числитель — это полный квадрат $(y - 5)^2$. Знаменатель — это разность квадратов $5^2 - y^2 = (5 - y)(5 + y)$.

$\frac{(y - 5)^2}{(5 - y)(5 + y)}$

Так как $(y - 5) = -(5 - y)$, то $(y - 5)^2 = (-(5 - y))^2 = (5 - y)^2$. Заменим это в выражении:

$\frac{(5 - y)^2}{(5 - y)(5 + y)}$

Сократим дробь на общий множитель $(5 - y)$, при условии что $y \neq 5$.

$\frac{5 - y}{5 + y}$

Ответ: $\frac{5 - y}{5 + y}$

3)

Исходное выражение: $\frac{9p + 5}{3p + 6} - \frac{10p - 12}{3p + 6} + \frac{9p - 1}{3p + 6}$.

Все дроби имеют одинаковый знаменатель, поэтому выполним действия с числителями:

$\frac{(9p + 5) - (10p - 12) + (9p - 1)}{3p + 6}$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые в числителе:

$\frac{9p + 5 - 10p + 12 + 9p - 1}{3p + 6} = \frac{(9p - 10p + 9p) + (5 + 12 - 1)}{3p + 6} = \frac{8p + 16}{3p + 6}$

Вынесем общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{8(p + 2)}{3(p + 2)}$

Сократим дробь на общий множитель $(p + 2)$, при условии что $p \neq -2$.

$\frac{8}{3}$

Ответ: $\frac{8}{3}$

4)

Исходное выражение: $\frac{7x + 5}{3 - x} + \frac{5x + 11}{x - 3}$.

Заметим, что знаменатели $3 - x$ и $x - 3$ являются противоположными выражениями, так как $x - 3 = -(3 - x)$. Приведем вторую дробь к знаменателю первой, вынеся минус за знак дроби.

$\frac{7x + 5}{3 - x} + \frac{5x + 11}{-(3 - x)} = \frac{7x + 5}{3 - x} - \frac{5x + 11}{3 - x}$

Теперь, когда знаменатели одинаковы, вычтем числители:

$\frac{(7x + 5) - (5x + 11)}{3 - x} = \frac{7x + 5 - 5x - 11}{3 - x} = \frac{2x - 6}{3 - x}$

Вынесем в числителе общий множитель 2:

$\frac{2(x - 3)}{3 - x}$

Используем снова соотношение $x - 3 = -(3 - x)$:

$\frac{2(-(3 - x))}{3 - x} = -2$

Ответ: $-2$

5)

Исходное выражение: $\frac{(3a - 1)^2}{4a - 4} + \frac{(a - 3)^2}{4 - 4a}$.

Преобразуем знаменатели: $4a - 4 = 4(a - 1)$ и $4 - 4a = -4(a - 1)$. Знаменатели отличаются знаком. Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:

$\frac{(3a - 1)^2}{4(a - 1)} + \frac{(a - 3)^2}{-4(a - 1)} = \frac{(3a - 1)^2}{4(a - 1)} - \frac{(a - 3)^2}{4(a - 1)}$

Объединим дроби:

$\frac{(3a - 1)^2 - (a - 3)^2}{4(a - 1)}$

Числитель является разностью квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X - Y)(X + Y)$:

$\frac{((3a - 1) - (a - 3))((3a - 1) + (a - 3))}{4(a - 1)} = \frac{(3a - 1 - a + 3)(3a - 1 + a - 3)}{4(a - 1)}$

Упростим выражения в скобках:

$\frac{(2a + 2)(4a - 4)}{4(a - 1)} = \frac{2(a + 1) \cdot 4(a - 1)}{4(a - 1)}$

Сократим дробь на $4(a - 1)$, при условии что $a \neq 1$.

$2(a + 1)$

Ответ: $2(a + 1)$

6)

Исходное выражение: $\frac{x^2 - 3x}{(2 - x)^2} - \frac{x - 4}{(x - 2)^2}$.

Заметим, что $(2 - x)^2 = (-(x - 2))^2 = (x - 2)^2$. Таким образом, знаменатели дробей равны.

$\frac{x^2 - 3x}{(x - 2)^2} - \frac{x - 4}{(x - 2)^2}$

Выполним вычитание числителей:

$\frac{(x^2 - 3x) - (x - 4)}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 3x - x + 4}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x - 2)^2}$

Числитель $x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом $(x - 2)^2$.

$\frac{(x - 2)^2}{(x - 2)^2}$

При условии, что $x \neq 2$, дробь равна 1.

Ответ: $1$

7)

Исходное выражение: $\frac{7}{a - 2} - \frac{b}{2 - a}$.

Знаменатель второй дроби $2 - a$ можно представить как $-(a - 2)$. Вынесем этот минус перед дробью:

$\frac{7}{a - 2} - \frac{b}{-(a - 2)} = \frac{7}{a - 2} + \frac{b}{a - 2}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{7 + b}{a - 2}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{7 + b}{a - 2}$

8)

Исходное выражение: $\frac{6a}{5 - a} - \frac{4a}{a - 5}$.

Знаменатели являются противоположными выражениями, так как $a - 5 = -(5 - a)$. Преобразуем вторую дробь:

$\frac{6a}{5 - a} - \frac{4a}{-(5 - a)} = \frac{6a}{5 - a} + \frac{4a}{5 - a}$

Сложим числители:

$\frac{6a + 4a}{5 - a} = \frac{10a}{5 - a}$

Дальнейшее упрощение невозможно.

Ответ: $\frac{10a}{5 - a}$

849. Выполните действия:

1) $\frac{8}{x} - \frac{5}{y}$;

2) $\frac{7}{ab} + \frac{5}{b}$;

3) $\frac{5}{24xy} - \frac{7}{18xy}$;

4) $\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{2b - 1}{a^2b}$.

1) Чтобы выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, их необходимо привести к общему знаменателю. Для дробей $\frac{8}{x}$ и $\frac{5}{y}$ общим знаменателем является произведение их знаменателей, то есть $xy$.

Найдем дополнительные множители для каждой дроби:

Для первой дроби ($\frac{8}{x}$): $\frac{xy}{x} = y$.

Для второй дроби ($\frac{5}{y}$): $\frac{xy}{y} = x$.

Теперь умножим числитель каждой дроби на ее дополнительный множитель и выполним вычитание:

$\frac{8}{x} - \frac{5}{y} = \frac{8 \cdot y}{xy} - \frac{5 \cdot x}{xy} = \frac{8y - 5x}{xy}$.

Ответ: $\frac{8y - 5x}{xy}$.

2) Для сложения дробей $\frac{7}{ab}$ и $\frac{5}{b}$ найдем общий знаменатель. Знаменатели $ab$ и $b$. Наименьший общий знаменатель — $ab$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{ab}{ab} = 1$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{ab}{b} = a$.

Выполним сложение, умножив числитель второй дроби на дополнительный множитель:

$\frac{7}{ab} + \frac{5}{b} = \frac{7}{ab} + \frac{5 \cdot a}{ab} = \frac{7 + 5a}{ab}$.

Ответ: $\frac{7 + 5a}{ab}$.

3) Чтобы вычесть дроби $\frac{5}{24xy}$ и $\frac{7}{18xy}$, найдем общий знаменатель. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) коэффициентов 24 и 18.

Разложим числа 24 и 18 на простые множители:

$24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

НОК(24, 18) = $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$.

Общий знаменатель дробей — $72xy$.

Дополнительный множитель для первой дроби: $\frac{72xy}{24xy} = 3$.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{72xy}{18xy} = 4$.

Выполним вычитание:

$\frac{5}{24xy} - \frac{7}{18xy} = \frac{5 \cdot 3}{72xy} - \frac{7 \cdot 4}{72xy} = \frac{15 - 28}{72xy} = \frac{-13}{72xy} = -\frac{13}{72xy}$.

Ответ: $-\frac{13}{72xy}$.

4) Чтобы выполнить вычитание $\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{2b - 1}{a^2b}$, приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для $a^2b^2$ и $a^2b$ — это $a^2b^2$.

Дополнительный множитель для первой дроби равен 1.

Дополнительный множитель для второй дроби: $\frac{a^2b^2}{a^2b} = b$.

Умножим числитель второй дроби на дополнительный множитель $b$ и выполним вычитание:

$\frac{5b^2 - 8b + 1}{a^2b^2} - \frac{(2b - 1) \cdot b}{a^2b^2} = \frac{(5b^2 - 8b + 1) - (2b^2 - b)}{a^2b^2}$.

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые. Важно обратить внимание на знак минус перед второй дробью, который меняет знаки в ее числителе:

$\frac{5b^2 - 8b + 1 - 2b^2 + b}{a^2b^2} = \frac{(5b^2 - 2b^2) + (-8b + b) + 1}{a^2b^2} = \frac{3b^2 - 7b + 1}{a^2b^2}$.

Ответ: $\frac{3b^2 - 7b + 1}{a^2b^2}$.

850. Выполните действия:

1) $\frac{2a - 1}{a - 4} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)};$

2) $\frac{x + 2}{3x + 9} - \frac{4 - x}{5x + 15};$

3) $\frac{m + 1}{m - 3} - \frac{m + 2}{m + 3};$

4) $\frac{x}{x + y} - \frac{2y^2}{y^2 - x^2} - \frac{y}{x - y};$

5) $\frac{m}{3m - 2n} - \frac{3m^2 - 3mn}{9m^2 - 12m + 4n^2};$

6) $\frac{a + 3}{a^2 - 2a} - \frac{a - 2}{5a - 10} + \frac{a + 2}{5a};$

7) $\frac{3}{3a - 3} - \frac{a - 1}{2a^2 - 4a + 2};$

8) $2 - \frac{14}{m - 2} - m;$

9) $\frac{2x + 1}{x^2 - 6x + 9} - \frac{8}{x^2 - 9} - \frac{2x - 1}{x^2 + 6x + 9};$

1) $\frac{2a - 1}{a - 4} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)}$

Чтобы вычесть дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{2a-1}{a-4}$ и $\frac{3a+2}{2(a-4)}$ равен $2(a-4)$. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
$\frac{2(2a - 1)}{2(a - 4)} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)} = \frac{4a - 2}{2(a - 4)} - \frac{3a + 2}{2(a - 4)}$
Теперь выполним вычитание числителей:
$\frac{(4a - 2) - (3a + 2)}{2(a - 4)} = \frac{4a - 2 - 3a - 2}{2(a - 4)} = \frac{a - 4}{2(a - 4)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-4)$:
$\frac{1}{2}$
Ответ: $\frac{1}{2}$

2) $\frac{x + 2}{3x + 9} - \frac{4 - x}{5x + 15}$

Сначала разложим знаменатели на множители:
$3x + 9 = 3(x + 3)$
$5x + 15 = 5(x + 3)$
Общий знаменатель равен $3 \cdot 5 \cdot (x + 3) = 15(x + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Дополнительный множитель для первой дроби — 5, для второй — 3.
$\frac{5(x + 2)}{15(x + 3)} - \frac{3(4 - x)}{15(x + 3)} = \frac{5x + 10}{15(x + 3)} - \frac{12 - 3x}{15(x + 3)}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(5x + 10) - (12 - 3x)}{15(x + 3)} = \frac{5x + 10 - 12 + 3x}{15(x + 3)} = \frac{8x - 2}{15(x + 3)}$
Ответ: $\frac{8x - 2}{15(x + 3)}$

3) $\frac{m + 1}{m - 3} - \frac{m + 2}{m + 3}$

Общий знаменатель для дробей равен произведению их знаменателей: $(m - 3)(m + 3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(m + 1)(m + 3)}{(m - 3)(m + 3)} - \frac{(m + 2)(m - 3)}{(m - 3)(m + 3)}$
Раскроем скобки в числителях:
$\frac{m^2 + 3m + m + 3}{m^2 - 9} - \frac{m^2 - 3m + 2m - 6}{m^2 - 9} = \frac{m^2 + 4m + 3}{m^2 - 9} - \frac{m^2 - m - 6}{m^2 - 9}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(m^2 + 4m + 3) - (m^2 - m - 6)}{m^2 - 9} = \frac{m^2 + 4m + 3 - m^2 + m + 6}{m^2 - 9} = \frac{5m + 9}{m^2 - 9}$
Ответ: $\frac{5m + 9}{m^2 - 9}$

4) $\frac{x}{x + y} - \frac{2y^2}{y^2 - x^2} - \frac{y}{x - y}$

Разложим знаменатель второй дроби на множители: $y^2 - x^2 = (y - x)(y + x) = -(x - y)(x + y)$.
Изменим знак перед второй дробью и в ее знаменателе:
$\frac{x}{x + y} + \frac{2y^2}{(x - y)(x + y)} - \frac{y}{x - y}$
Общий знаменатель: $(x + y)(x - y)$.
Приведем все дроби к общему знаменателю:
$\frac{x(x - y)}{(x + y)(x - y)} + \frac{2y^2}{(x + y)(x - y)} - \frac{y(x + y)}{(x + y)(x - y)}$
Объединим числители:
$\frac{x(x - y) + 2y^2 - y(x + y)}{(x + y)(x - y)} = \frac{x^2 - xy + 2y^2 - xy - y^2}{x^2 - y^2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2} = \frac{(x - y)^2}{(x - y)(x + y)}$
Сократим дробь на $(x - y)$:
$\frac{x - y}{x + y}$
Ответ: $\frac{x - y}{x + y}$

5) $\frac{m}{3m - 2n} - \frac{3m^2 - 3mn}{9m^2 - 12mn + 4n^2}$

Заметим, что знаменатель второй дроби является квадратом разности:
$9m^2 - 12mn + 4n^2 = (3m)^2 - 2(3m)(2n) + (2n)^2 = (3m - 2n)^2$.
Общий знаменатель равен $(3m - 2n)^2$.
Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(3m - 2n)$:
$\frac{m(3m - 2n)}{(3m - 2n)^2} - \frac{3m^2 - 3mn}{(3m - 2n)^2} = \frac{3m^2 - 2mn}{(3m - 2n)^2} - \frac{3m^2 - 3mn}{(3m - 2n)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{(3m^2 - 2mn) - (3m^2 - 3mn)}{(3m - 2n)^2} = \frac{3m^2 - 2mn - 3m^2 + 3mn}{(3m - 2n)^2} = \frac{mn}{(3m - 2n)^2}$
Ответ: $\frac{mn}{(3m - 2n)^2}$

6) $\frac{a + 3}{a^2 - 2a} - \frac{a - 2}{5a - 10} + \frac{a + 2}{5a}$

Разложим знаменатели на множители:
$a^2 - 2a = a(a - 2)$
$5a - 10 = 5(a - 2)$
Общий знаменатель: $5a(a - 2)$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{5(a + 3)}{5a(a - 2)} - \frac{a(a - 2)}{5a(a - 2)} + \frac{(a + 2)(a - 2)}{5a(a - 2)}$
Раскроем скобки и объединим числители:
$\frac{5a + 15 - (a^2 - 2a) + (a^2 - 4)}{5a(a - 2)} = \frac{5a + 15 - a^2 + 2a + a^2 - 4}{5a(a - 2)}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{7a + 11}{5a(a - 2)}$
Ответ: $\frac{7a + 11}{5a(a - 2)}$

7) $\frac{3}{3a - 3} - \frac{a - 1}{2a^2 - 4a + 2}$

Разложим знаменатели на множители:
$3a - 3 = 3(a - 1)$
$2a^2 - 4a + 2 = 2(a^2 - 2a + 1) = 2(a - 1)^2$
Общий знаменатель: $6(a - 1)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3 \cdot 2(a - 1)}{6(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2} = \frac{6(a - 1)}{6(a - 1)^2} - \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2}$
Выполним вычитание числителей:
$\frac{6(a - 1) - 3(a - 1)}{6(a - 1)^2} = \frac{(6-3)(a-1)}{6(a-1)^2} = \frac{3(a - 1)}{6(a - 1)^2}$
Сократим дробь на $3(a - 1)$:
$\frac{1}{2(a - 1)}$
Ответ: $\frac{1}{2(a - 1)}$

8) $2 - \frac{14}{m - 2} - m$

Приведем все члены выражения к общему знаменателю $(m - 2)$:
$\frac{2(m - 2)}{m - 2} - \frac{14}{m - 2} - \frac{m(m - 2)}{m - 2}$
Раскроем скобки и объединим числители:
$\frac{2m - 4 - 14 - (m^2 - 2m)}{m - 2} = \frac{2m - 18 - m^2 + 2m}{m - 2}$
Приведем подобные слагаемые в числителе:
$\frac{-m^2 + 4m - 18}{m - 2}$
Можно вынести минус из числителя:
$-\frac{m^2 - 4m + 18}{m - 2}$
Ответ: $\frac{-m^2 + 4m - 18}{m - 2}$

9) $\frac{2x + 1}{x^2 - 6x + 9} - \frac{8}{x^2 - 9} - \frac{2x - 1}{x^2 + 6x + 9}$

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения:
$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$
$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$
Общий знаменатель: $(x - 3)^2(x + 3)^2$.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{(2x + 1)(x + 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2} - \frac{8(x - 3)(x + 3)}{(x - 3)^2(x + 3)^2} - \frac{(2x - 1)(x - 3)^2}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$
Раскроем скобки в числителях:
$(2x + 1)(x^2 + 6x + 9) = 2x^3 + 12x^2 + 18x + x^2 + 6x + 9 = 2x^3 + 13x^2 + 24x + 9$
$8(x^2 - 9) = 8x^2 - 72$
$(2x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 2x^3 - 12x^2 + 18x - x^2 + 6x - 9 = 2x^3 - 13x^2 + 24x - 9$
Объединим числители:
$\frac{(2x^3 + 13x^2 + 24x + 9) - (8x^2 - 72) - (2x^3 - 13x^2 + 24x - 9)}{(x - 3)^2(x + 3)^2}$
Упростим числитель:
$\frac{2x^3 + 13x^2 + 24x + 9 - 8x^2 + 72 - 2x^3 + 13x^2 - 24x + 9}{(x^2 - 9)^2}$
$\frac{(2x^3 - 2x^3) + (13x^2 - 8x^2 + 13x^2) + (24x - 24x) + (9 + 72 + 9)}{(x^2 - 9)^2} = \frac{18x^2 + 90}{(x^2 - 9)^2}$
Ответ: $\frac{18x^2 + 90}{(x^2 - 9)^2}$