Страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

860. Выполните умножение:

1) $ \frac{2xy - y^2}{9} \cdot \frac{36}{y^4}; $

2) $ \frac{a^2 - 7ab}{a^2 + 2ab} \cdot \frac{a^2b + 2ab^2}{a^3 - 7a^2b}; $

3) $ \frac{m^2 - 64}{m^3 - 9m^2} \cdot \frac{m^2 - 81}{m^2 + 8m}; $

4) $ \frac{2x^2 - 16x + 32}{3x^2 - 6x + 12} \cdot \frac{x^3 + 8}{4x^2 - 64}. $

1)

Чтобы выполнить умножение дробей, нужно перемножить их числители и знаменатели. Сначала разложим на множители числитель первой дроби, вынеся общий множитель $y$ за скобки.

$\frac{2xy - y^2}{9} \cdot \frac{36}{y^4} = \frac{y(2x - y)}{9} \cdot \frac{36}{y^4}$

Теперь перемножим числители и знаменатели:

$\frac{y(2x - y) \cdot 36}{9 \cdot y^4}$

Сократим полученную дробь. Сокращаем $36$ и $9$ на $9$. Сокращаем $y$ и $y^4$ на $y$.

$\frac{y(2x - y) \cdot 4 \cdot 9}{9 \cdot y \cdot y^3} = \frac{4(2x - y)}{y^3}$

Ответ: $\frac{4(2x - y)}{y^3}$

2)

Разложим на множители числители и знаменатели обеих дробей, вынося общие множители за скобки.

Числитель первой дроби: $a^2 - 7ab = a(a - 7b)$

Знаменатель первой дроби: $a^2 + 2ab = a(a + 2b)$

Числитель второй дроби: $a^2b + 2ab^2 = ab(a + 2b)$

Знаменатель второй дроби: $a^3 - 7a^2b = a^2(a - 7b)$

Подставим разложенные выражения в исходное:

$\frac{a(a - 7b)}{a(a + 2b)} \cdot \frac{ab(a + 2b)}{a^2(a - 7b)}$

Перемножим дроби и сократим общие множители: $a$, $(a - 7b)$ и $(a + 2b)$.

$\frac{a(a - 7b) \cdot ab(a + 2b)}{a(a + 2b) \cdot a^2(a - 7b)} = \frac{ab}{a^2}$

Сократим оставшуюся дробь на $a$:

$\frac{b}{a}$

Ответ: $\frac{b}{a}$

3)

Разложим на множители числители и знаменатели, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесение общего множителя за скобки.

Числитель первой дроби: $m^2 - 64 = m^2 - 8^2 = (m - 8)(m + 8)$

Знаменатель первой дроби: $m^3 - 9m^2 = m^2(m - 9)$

Числитель второй дроби: $m^2 - 81 = m^2 - 9^2 = (m - 9)(m + 9)$

Знаменатель второй дроби: $m^2 + 8m = m(m + 8)$

Запишем произведение с разложенными выражениями:

$\frac{(m - 8)(m + 8)}{m^2(m - 9)} \cdot \frac{(m - 9)(m + 9)}{m(m + 8)}$

Перемножим и сократим общие множители $(m + 8)$ и $(m - 9)$.

$\frac{(m - 8)(m + 8)(m - 9)(m + 9)}{m^2(m - 9)m(m + 8)} = \frac{(m - 8)(m + 9)}{m^2 \cdot m} = \frac{(m - 8)(m + 9)}{m^3}$

Ответ: $\frac{(m - 8)(m + 9)}{m^3}$

4)

Разложим на множители все числители и знаменатели.

Числитель первой дроби: $2x^2 - 16x + 32 = 2(x^2 - 8x + 16) = 2(x - 4)^2$ (формула квадрата разности).

Знаменатель первой дроби: $3x^2 - 6x + 12 = 3(x^2 - 2x + 4)$ (выражение $x^2 - 2x + 4$ не раскладывается на множители с действительными корнями, так как его дискриминант отрицательный).

Числитель второй дроби: $x^3 + 8 = x^3 + 2^3 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4)$ (формула суммы кубов).

Знаменатель второй дроби: $4x^2 - 64 = 4(x^2 - 16) = 4(x - 4)(x + 4)$ (формула разности квадратов).

Подставим разложенные выражения и выполним умножение:

$\frac{2(x - 4)^2}{3(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{4(x - 4)(x + 4)} = \frac{2(x - 4)(x - 4)(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{3(x^2 - 2x + 4) \cdot 4(x - 4)(x + 4)}$

Сократим общие множители: $(x - 4)$, $(x^2 - 2x + 4)$, а также числовые коэффициенты $2$ и $4$.

$\frac{\cancel{2}(x - 4)\cancel{(x - 4)}(x + 2)\cancel{(x^2 - 2x + 4)}}{3\cancel{(x^2 - 2x + 4)} \cdot \cancel{4}_2 \cancel{(x - 4)}(x + 4)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{3 \cdot 2 \cdot (x + 4)} = \frac{(x - 4)(x + 2)}{6(x + 4)}$

Ответ: $\frac{(x-4)(x+2)}{6(x+4)}$

861. Представьте выражение в виде дроби:

1) $ \left(\frac{a^5}{x^4}\right)^2 $;

2) $ \left(-\frac{4y}{3m^2}\right)^4 $;

3) $ \left(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3}\right)^3 $;

4) $ \left(-\frac{2a^4b^4}{25x^5}\right)^2 \cdot \left(-\frac{5x^2}{4a^2b^3}\right)^3 $.

1) Чтобы представить выражение $(\frac{a^5}{x^4})^2$ в виде дроби, необходимо возвести в степень и числитель, и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойствами степени: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ и $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к нашему выражению:

$(\frac{a^5}{x^4})^2 = \frac{(a^5)^2}{(x^4)^2} = \frac{a^{5 \cdot 2}}{x^{4 \cdot 2}} = \frac{a^{10}}{x^8}$

Ответ: $\frac{a^{10}}{x^8}$

2) Для выражения $(-\frac{4y}{3m^2})^4$ сначала обратим внимание на знак. Поскольку дробь возводится в четную степень (4), результат будет положительным. Далее применяем те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте.

$(-\frac{4y}{3m^2})^4 = (\frac{4y}{3m^2})^4 = \frac{(4y)^4}{(3m^2)^4} = \frac{4^4 \cdot y^4}{3^4 \cdot (m^2)^4} = \frac{256y^4}{81m^{2 \cdot 4}} = \frac{256y^4}{81m^8}$

Ответ: $\frac{256y^4}{81m^8}$

3) В выражении $(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3$ дробь возводится в нечетную степень (3), поэтому знак минус сохраняется в итоговом результате.

$(-\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3 = -(\frac{10x^2y^5}{3a^4b^3})^3 = -\frac{(10x^2y^5)^3}{(3a^4b^3)^3} = -\frac{10^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^5)^3}{3^3 \cdot (a^4)^3 \cdot (b^3)^3}$

Вычисляем степени коэффициентов и показателей:

$-\frac{1000 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot y^{5 \cdot 3}}{27 \cdot a^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3}} = -\frac{1000x^6y^{15}}{27a^{12}b^9}$

Ответ: $-\frac{1000x^6y^{15}}{27a^{12}b^9}$

4) Данное выражение представляет собой произведение двух дробей, возведенных в степень: $(-\frac{2a^4b^4}{25x^5})^2 \cdot (-\frac{5x^2}{4a^2b^3})^3$. Упростим каждый множитель по отдельности, а затем перемножим результаты.

Первый множитель возводится в четную степень, поэтому знак минус исчезает:

$(-\frac{2a^4b^4}{25x^5})^2 = \frac{(2a^4b^4)^2}{(25x^5)^2} = \frac{2^2(a^4)^2(b^4)^2}{25^2(x^5)^2} = \frac{4a^8b^8}{625x^{10}}$

Второй множитель возводится в нечетную степень, поэтому знак минус сохраняется:

$(-\frac{5x^2}{4a^2b^3})^3 = -\frac{(5x^2)^3}{(4a^2b^3)^3} = -\frac{5^3(x^2)^3}{4^3(a^2)^3(b^3)^3} = -\frac{125x^6}{64a^6b^9}$

Теперь перемножим полученные дроби. Общий результат будет отрицательным.

$(\frac{4a^8b^8}{625x^{10}}) \cdot (-\frac{125x^6}{64a^6b^9}) = -\frac{4a^8b^8 \cdot 125x^6}{625x^{10} \cdot 64a^6b^9}$

Сократим числовые коэффициенты и переменные со степенями, используя правила $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$-\frac{4 \cdot 125}{625 \cdot 64} \cdot \frac{a^8}{a^6} \cdot \frac{b^8}{b^9} \cdot \frac{x^6}{x^{10}} = -\frac{\cancel{4} \cdot \cancel{125}}{\cancel{625}_5 \cdot \cancel{64}_{16}} \cdot a^{8-6} \cdot b^{8-9} \cdot x^{6-10} = -\frac{1}{80} \cdot a^2 \cdot b^{-1} \cdot x^{-4}$

Запишем результат в виде одной дроби, переместив переменные с отрицательными степенями в знаменатель:

$-\frac{a^2}{80bx^4}$

Ответ: $-\frac{a^2}{80bx^4}$

862. Выполните деление:

1) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} : \frac{x - 5}{x - 10};$

2) $\frac{a^2 - 1}{a - 8} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a - 8};$

3) $\frac{ab + b^2}{8b} : \frac{ab + a^2}{2a};$

4) $\frac{2c - 3}{c - 1} : (2c - 3);$

5) $\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} : \frac{x^2 + 8xy + 16y^2}{25x^2 + 20xy + 4y^2};$

6) $\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{49n^2 - 14n + 1};$

7) $\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} : \frac{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}{3m^5 + 6n^7};$

8) $\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} : \frac{30(a - 4b)^2}{9a^4 - b^4}.$

1) $\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} : \frac{x - 5}{x - 10}$
Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернуть вторую дробь):
$\frac{x^2 - 10x + 25}{x^2 - 100} \cdot \frac{x - 10}{x - 5}$
Теперь разложим числители и знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения: квадрат разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ и разность квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$
$x^2 - 100 = x^2 - 10^2 = (x-10)(x+10)$
Подставим разложенные выражения в пример:
$\frac{(x-5)^2}{(x-10)(x+10)} \cdot \frac{x-10}{x-5}$
Сократим общие множители $(x-5)$ и $(x-10)$:
$\frac{(x-5)^{\cancel{2}}}{\cancel{(x-10)}(x+10)} \cdot \frac{\cancel{x-10}}{\cancel{x-5}} = \frac{x-5}{x+10}$
Ответ: $\frac{x-5}{x+10}$

2) $\frac{a^2 - 1}{a - 8} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a - 8}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{a^2 - 1}{a - 8} \cdot \frac{a - 8}{a^2 + 2a + 1}$
Разложим числители на множители. Используем формулы разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$ и квадрата суммы $x^2 + 2xy + y^2 = (x+y)^2$.
$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$
$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$
Подставляем и сокращаем общие множители $(a-8)$ и $(a+1)$:
$\frac{(a-1)\cancel{(a+1)}}{\cancel{a - 8}} \cdot \frac{\cancel{a - 8}}{(a+1)^{\cancel{2}}} = \frac{a-1}{a+1}$
Ответ: $\frac{a-1}{a+1}$

3) $\frac{ab + b^2}{8b} : \frac{ab + a^2}{2a}$
Переворачиваем вторую дробь и заменяем деление на умножение:
$\frac{ab + b^2}{8b} \cdot \frac{2a}{ab + a^2}$
Вынесем общие множители за скобки в числителях:
$ab + b^2 = b(a+b)$
$ab + a^2 = a(a+b)$
Подставим в выражение:
$\frac{b(a+b)}{8b} \cdot \frac{2a}{a(a+b)}$
Сокращаем общие множители $a$, $b$, $(a+b)$ и числовые коэффициенты:
$\frac{\cancel{b}\cancel{(a+b)}}{\cancel{8}_4 \cancel{b}} \cdot \frac{\cancel{2}^1 \cancel{a}}{\cancel{a}\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{4}$
Ответ: $\frac{1}{4}$

4) $\frac{2c - 3}{c - 1} : (2c - 3)$
Представим делитель $(2c-3)$ в виде дроби $\frac{2c-3}{1}$.
$\frac{2c - 3}{c - 1} : \frac{2c - 3}{1}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{2c - 3}{c - 1} \cdot \frac{1}{2c - 3}$
Сокращаем общий множитель $(2c-3)$:
$\frac{\cancel{2c - 3}}{c - 1} \cdot \frac{1}{\cancel{2c - 3}} = \frac{1}{c-1}$
Ответ: $\frac{1}{c-1}$

5) $\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} : \frac{x^2 + 8xy + 16y^2}{25x^2 + 20xy + 4y^2}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{x^2 - 16y^2}{25x^2 - 4y^2} \cdot \frac{25x^2 + 20xy + 4y^2}{x^2 + 8xy + 16y^2}$
Разложим многочлены на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата суммы:
$x^2 - 16y^2 = (x - 4y)(x + 4y)$
$25x^2 - 4y^2 = (5x - 2y)(5x + 2y)$
$x^2 + 8xy + 16y^2 = (x + 4y)^2$
$25x^2 + 20xy + 4y^2 = (5x + 2y)^2$
Подставляем разложенные выражения:
$\frac{(x - 4y)(x + 4y)}{(5x - 2y)(5x + 2y)} \cdot \frac{(5x + 2y)^2}{(x + 4y)^2}$
Сокращаем общие множители $(x+4y)$ и $(5x+2y)$:
$\frac{(x - 4y)\cancel{(x + 4y)}}{(5x - 2y)\cancel{(5x + 2y)}} \cdot \frac{(5x + 2y)^{\cancel{2}}}{(x + 4y)^{\cancel{2}}} = \frac{(x-4y)(5x+2y)}{(5x-2y)(x+4y)}$
Ответ: $\frac{(x-4y)(5x+2y)}{(5x-2y)(x+4y)}$

6) $\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} : \frac{n^4 - 27n}{49n^2 - 14n + 1}$
Выполняем умножение на обратную дробь:
$\frac{n^2 - 3n}{49n^2 - 1} \cdot \frac{49n^2 - 14n + 1}{n^4 - 27n}$
Разложим выражения на множители:
$n^2 - 3n = n(n - 3)$
$49n^2 - 1 = (7n - 1)(7n + 1)$ (разность квадратов)
$n^4 - 27n = n(n^3 - 27) = n(n-3)(n^2+3n+9)$ (разность кубов)
$49n^2 - 14n + 1 = (7n - 1)^2$ (квадрат разности)
Подставляем и выполняем сокращение:
$\frac{n(n - 3)}{(7n - 1)(7n + 1)} \cdot \frac{(7n - 1)^2}{n(n - 3)(n^2 + 3n + 9)}$
$\frac{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}}{\cancel{(7n - 1)}(7n + 1)} \cdot \frac{(7n - 1)^{\cancel{2}}}{\cancel{n}\cancel{(n - 3)}(n^2 + 3n + 9)} = \frac{7n - 1}{(7n + 1)(n^2 + 3n + 9)}$
Ответ: $\frac{7n - 1}{(7n + 1)(n^2 + 3n + 9)}$

7) $\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} : \frac{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}{3m^5 + 6n^7}$
Заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$\frac{m^{12} - n^{15}}{2m^{10} - 8n^{14}} \cdot \frac{3m^5 + 6n^7}{5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10}}$
Разложим на множители числители и знаменатели:
$m^{12} - n^{15} = (m^4)^3 - (n^5)^3 = (m^4 - n^5)(m^8 + m^4n^5 + n^{10})$ (разность кубов)
$2m^{10} - 8n^{14} = 2(m^{10} - 4n^{14}) = 2((m^5)^2 - (2n^7)^2) = 2(m^5 - 2n^7)(m^5 + 2n^7)$ (разность квадратов)
$5m^8 + 5m^4n^5 + 5n^{10} = 5(m^8 + m^4n^5 + n^{10})$ (вынесение общего множителя)
$3m^5 + 6n^7 = 3(m^5 + 2n^7)$ (вынесение общего множителя)
Подставим разложения в выражение:
$\frac{(m^4 - n^5)(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}{2(m^5 - 2n^7)(m^5 + 2n^7)} \cdot \frac{3(m^5 + 2n^7)}{5(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}$
Сократим общие множители:
$\frac{(m^4 - n^5)\cancel{(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}}{2(m^5 - 2n^7)\cancel{(m^5 + 2n^7)}} \cdot \frac{3\cancel{(m^5 + 2n^7)}}{5\cancel{(m^8 + m^4n^5 + n^{10})}} = \frac{3(m^4 - n^5)}{10(m^5 - 2n^7)}$
Ответ: $\frac{3(m^4 - n^5)}{10(m^5 - 2n^7)}$

8) $\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} : \frac{30(a - 4b)^2}{9a^4 - b^4}$
Выполняем умножение на обратную дробь:
$\frac{5a^2 - 20ab}{3a^2 + b^2} \cdot \frac{9a^4 - b^4}{30(a - 4b)^2}$
Разложим на множители:
$5a^2 - 20ab = 5a(a - 4b)$ (вынесение общего множителя)
$9a^4 - b^4 = (3a^2)^2 - (b^2)^2 = (3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)$ (разность квадратов)
Знаменатель $3a^2+b^2$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Подставим разложения в выражение:
$\frac{5a(a - 4b)}{3a^2 + b^2} \cdot \frac{(3a^2 - b^2)(3a^2 + b^2)}{30(a - 4b)^2}$
Сократим общие множители $5$, $(a-4b)$ и $(3a^2+b^2)$:
$\frac{\cancel{5}a\cancel{(a - 4b)}}{\cancel{3a^2 + b^2}} \cdot \frac{(3a^2 - b^2)\cancel{(3a^2 + b^2)}}{\cancel{30}_6(a - 4b)^{\cancel{2}}} = \frac{a(3a^2 - b^2)}{6(a - 4b)}$
Ответ: $\frac{a(3a^2 - b^2)}{6(a - 4b)}$

863. Полагая данные дроби несократимыми, замените x и y такими одночленами, чтобы получилось тождество:

1) $ \frac{x}{7a^2b^3} \cdot \frac{y}{4c} = \frac{6a^3c^2}{b}; $

2) $ \frac{36m^2n^4}{x} : \frac{y}{35p^6} = \frac{21n}{5mp^3}. $

1) Дано тождество: $\frac{x}{7a^2b^3} \cdot \frac{y}{4c} = \frac{6a^3c^2}{b}$.

Сначала выполним умножение дробей в левой части равенства: $\frac{x \cdot y}{(7a^2b^3) \cdot (4c)} = \frac{xy}{28a^2b^3c}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части тождества, чтобы получить уравнение: $\frac{xy}{28a^2b^3c} = \frac{6a^3c^2}{b}$.

Из этого уравнения выразим произведение одночленов $x$ и $y$:$xy = \frac{6a^3c^2 \cdot (28a^2b^3c)}{b} = (6 \cdot 28) \cdot a^{3+2} \cdot b^{3-1} \cdot c^{2+1} = 168a^5b^2c^3$.

По условию задачи, исходные дроби $\frac{x}{7a^2b^3}$ и $\frac{y}{4c}$ несократимы. Это накладывает ограничения на одночлены $x$ и $y$:

1. Дробь $\frac{x}{7a^2b^3}$ несократима, значит, у $x$ и знаменателя $7a^2b^3$ нет общих множителей. Следовательно, одночлен $x$ не может содержать множители $7$, $a$ и $b$.

2. Дробь $\frac{y}{4c}$ несократима, значит, у $y$ и знаменателя $4c$ нет общих множителей. Следовательно, одночлен $y$ не может содержать множители $2$ (поскольку $4 = 2^2$) и $c$.

Разложим полученное произведение $xy = 168a^5b^2c^3$ на простые множители. Коэффициент $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$. Таким образом, $xy = (2^3 \cdot 3 \cdot 7) a^5 b^2 c^3$.

Теперь распределим эти множители между $x$ и $y$ в соответствии с условиями несократимости:

- Множители $a^5$, $b^2$ и $7$ должны принадлежать $y$, так как $x$ не может содержать $a, b$ или $7$.

- Множители $c^3$ и $2^3$ должны принадлежать $x$, так как $y$ не может содержать $c$ или $2$.

- Множитель $3$ не противоречит ни одному из условий, поэтому может входить в состав как $x$, так и $y$. В таких задачах обычно достаточно найти одну пару одночленов. Отнесем множитель $3$ к $x$.

Соберем одночлены $x$ и $y$ из их множителей:
$x = 2^3 \cdot 3 \cdot c^3 = 24c^3$
$y = 7 \cdot a^5 \cdot b^2 = 7a^5b^2$

Ответ: $x = 24c^3$, $y = 7a^5b^2$.

2) Дано тождество: $\frac{36m^2n^4}{x} : \frac{y}{35p^6} = \frac{21n}{5mp^3}$.

Выполним деление дробей в левой части, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{36m^2n^4}{x} \cdot \frac{35p^6}{y} = \frac{36 \cdot 35 \cdot m^2n^4p^6}{xy} = \frac{1260m^2n^4p^6}{xy}$.

Теперь тождество имеет вид: $\frac{1260m^2n^4p^6}{xy} = \frac{21n}{5mp^3}$.

Из этого равенства выразим произведение $xy$ с помощью правила пропорции:
$xy \cdot 21n = 1260m^2n^4p^6 \cdot 5mp^3$.

Упростим правую часть: $xy \cdot 21n = 6300 m^{2+1} n^4 p^{6+3} = 6300m^3n^4p^9$.

Найдем $xy$, разделив правую часть на $21n$:
$xy = \frac{6300m^3n^4p^9}{21n} = 300m^3n^{4-1}p^9 = 300m^3n^3p^9$.

По условию, дроби $\frac{36m^2n^4}{x}$ и $\frac{y}{35p^6}$ несократимы. Это означает, что $x$ не имеет общих множителей с $36m^2n^4$ (то есть с $2, 3, m, n$), а $y$ не имеет общих множителей с $35p^6$ (то есть с $5, 7, p$).

Разложим $xy$ на множители. Коэффициент $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.Следовательно, $xy = (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) m^3 n^3 p^9$.

Распределим множители между $x$ и $y$ согласно условиям несократимости:

- Множители $2^2, 3, m^3, n^3$ должны принадлежать $y$ (так как $x$ не может делиться на $2, 3, m, n$).

- Множители $5^2$ и $p^9$ должны принадлежать $x$ (так как $y$ не может делиться на $5, p$).

В данном случае распределение множителей является однозначным.

Собираем одночлены:
$x = 5^2 \cdot p^9 = 25p^9$
$y = 2^2 \cdot 3 \cdot m^3 n^3 = 12m^3n^3$

Ответ: $x = 25p^9$, $y = 12m^3n^3$.

864. Дано: $3x - \frac{1}{x} = 8$. Найдите значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$.

Чтобы найти значение выражения $9x^2 + \frac{1}{x^2}$, воспользуемся данным равенством $3x - \frac{1}{x} = 8$.

Заметим, что искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$ состоит из квадратов слагаемых $(3x)$ и $(\frac{1}{x})$. Поэтому возведем обе части исходного равенства в квадрат:

$(3x - \frac{1}{x})^2 = 8^2$

Раскроем скобки в левой части уравнения, используя формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a = 3x$ и $b = \frac{1}{x}$.

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2 = 64$

Теперь упростим полученное выражение. Обратите внимание, что $x$ в числителе и знаменателе среднего члена сокращаются:

$9x^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2} = 64$

$9x^2 - 6 + \frac{1}{x^2} = 64$

Мы получили уравнение, которое содержит искомое выражение $9x^2 + \frac{1}{x^2}$. Чтобы найти его значение, перенесем $-6$ из левой части уравнения в правую, изменив знак на противоположный:

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 64 + 6$

$9x^2 + \frac{1}{x^2} = 70$

Ответ: 70

865. Дано: $4x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Найдите значение выражения $2x - \frac{1}{x}$.

Для нахождения значения выражения $2x - \frac{1}{x}$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Пусть искомое выражение $A = 2x - \frac{1}{x}$.

Возведем это выражение в квадрат:

$A^2 = (2x - \frac{1}{x})^2$

Раскроем скобки, применив формулу квадрата разности, где $a=2x$ и $b=\frac{1}{x}$:

$A^2 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot (\frac{1}{x}) + (\frac{1}{x})^2$

Упростим полученное выражение:

$A^2 = 4x^2 - 4 \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x^2}$

$A^2 = 4x^2 - 4 + \frac{1}{x^2}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы использовать выражение, данное в условии задачи:

$A^2 = (4x^2 + \frac{1}{x^2}) - 4$

По условию, $4x^2 + \frac{1}{x^2} = 6$. Подставим это значение в наше уравнение:

$A^2 = 6 - 4$

$A^2 = 2$

Теперь найдем значение $A$, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения. Уравнение имеет два решения:

$A = \sqrt{2}$ или $A = -\sqrt{2}$

Таким образом, выражение $2x - \frac{1}{x}$ может принимать два значения.

Ответ: $\sqrt{2}; -\sqrt{2}$.

866. Упростите выражение:

1) $\frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}}$, где k и n - целые числа;

2) $\frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} : \frac{a^{k+3} \cdot b^{k+2}}{c^{2k+1}}$, где k - целое число;

3) $\frac{(x^n + 3y^n)^2 - 12x^ny^n}{x^{3n} + 27y^{3n}} : \frac{x^{2n} - 9y^{2n}}{(x^n - 3y^n)^2 + 12x^ny^n}$, где n - целое число.

1) Исходное выражение представляет собой деление двух дробей: $ \frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$ \frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}} = \frac{x^{3k}}{y^{2n}} \cdot \frac{y^{5n}}{x^{6k}} $
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{x^{3k}}{x^{6k}} \cdot \frac{y^{5n}}{y^{2n}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$ x^{3k-6k} \cdot y^{5n-2n} = x^{-3k} \cdot y^{3n} $
Степень с отрицательным показателем $ a^{-n} $ равна $ \frac{1}{a^n} $. Поэтому $ x^{-3k} = \frac{1}{x^{3k}} $. Запишем итоговое выражение:
$ \frac{y^{3n}}{x^{3k}} $
Ответ: $ \frac{y^{3n}}{x^{3k}} $

2) Исходное выражение: $ \frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} : \frac{a^{k+3} \cdot b^{k+2}}{c^{2k+1}} $.
Как и в предыдущем примере, заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} \cdot \frac{c^{2k+1}}{a^{k+3} \cdot b^{k+2}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями $ a, b $ и $ c $:
$ \frac{a^{k+5}}{a^{k+3}} \cdot \frac{b^{k+3}}{b^{k+2}} \cdot \frac{c^{2k+1}}{c^{3k+2}} $
Применим свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ для каждого основания:
$ a^{(k+5)-(k+3)} \cdot b^{(k+3)-(k+2)} \cdot c^{(2k+1)-(3k+2)} $
Упростим выражения в показателях степеней:
$ a^{k+5-k-3} \cdot b^{k+3-k-2} \cdot c^{2k+1-3k-2} = a^2 \cdot b^1 \cdot c^{-k-1} $
Перепишем выражение без отрицательных показателей, поместив $ c^{-k-1} = c^{-(k+1)} $ в знаменатель как $ c^{k+1} $: $ \frac{a^2b}{c^{k+1}} $
Ответ: $ \frac{a^2b}{c^{k+1}} $

3) Дано выражение: $ \frac{(x^n + 3y^n)^2 - 12x^n y^n}{x^{3n} + 27y^{3n}} : \frac{x^{2n} - 9y^{2n}}{(x^n - 3y^n)^2 + 12x^n y^n} $.
Для упрощения этого выражения сначала преобразуем числители и знаменатели дробей.
1. Числитель первой дроби: $ (x^n + 3y^n)^2 - 12x^n y^n $.
Раскроем квадрат суммы: $ (x^n)^2 + 2 \cdot x^n \cdot 3y^n + (3y^n)^2 - 12x^n y^n = x^{2n} + 6x^n y^n + 9y^{2n} - 12x^n y^n $.
Приведем подобные слагаемые: $ x^{2n} - 6x^n y^n + 9y^{2n} $.
Это выражение является полным квадратом разности: $ (x^n - 3y^n)^2 $.
2. Знаменатель первой дроби: $ x^{3n} + 27y^{3n} $.
Это сумма кубов $ (x^n)^3 + (3y^n)^3 $. Разложим по формуле $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $: $ (x^n + 3y^n)(x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}) $.
3. Числитель второй дроби: $ x^{2n} - 9y^{2n} $.
Это разность квадратов $ (x^n)^2 - (3y^n)^2 $. Разложим по формуле $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $: $ (x^n - 3y^n)(x^n + 3y^n) $.
4. Знаменатель второй дроби: $ (x^n - 3y^n)^2 + 12x^n y^n $.
Раскроем квадрат разности: $ (x^n)^2 - 2 \cdot x^n \cdot 3y^n + (3y^n)^2 + 12x^n y^n = x^{2n} - 6x^n y^n + 9y^{2n} + 12x^n y^n $.
Приведем подобные слагаемые: $ x^{2n} + 6x^n y^n + 9y^{2n} $.
Это выражение является полным квадратом суммы: $ (x^n + 3y^n)^2 $.
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение и выполним деление (умножение на обратную дробь):
$ \frac{(x^n - 3y^n)^2}{(x^n + 3y^n)(x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n})} \cdot \frac{(x^n + 3y^n)^2}{(x^n - 3y^n)(x^n + 3y^n)} $
Объединим множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x^n - 3y^n)^2 \cdot (x^n + 3y^n)^2}{(x^n - 3y^n) \cdot (x^n + 3y^n)^2 \cdot (x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n})} $
Сократим общие множители $ (x^n - 3y^n) $ и $ (x^n + 3y^n)^2 $:
$ \frac{x^n - 3y^n}{x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}} $
Ответ: $ \frac{x^n - 3y^n}{x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}} $

867. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}\right) \cdot \frac{16-a^2}{32a^3};$

2) $\left(7x - \frac{4x}{x-3}\right) : \frac{14x-50}{3x-9};$

3) $\frac{2a}{a-2} + \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2};$

4) $\left(\frac{9c}{c-8} + \frac{7c}{c^2-16c+64}\right) : \left(\frac{9c-65}{c^2-64} - \frac{8c+64}{c-8}\right);$

5) $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\right) : \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a^2}{a^2-b^2}\right);$

6) $\left(\frac{b}{b+6} + \frac{36+b^2}{36-b^2} - \frac{b}{b-6}\right) : \frac{6b+b^2}{(6-b)^2};$

7) $\left(\frac{2x}{x^3+1} : \frac{1-x}{x^2-x+1} + \frac{2}{x-1}\right) \cdot \frac{x^2-2x+1}{4} : \frac{x-1}{x+1};$

1) Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-4)(a+4)$:
$\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4} = \frac{(a+4)^2 - (a-4)^2}{(a-4)(a+4)} = \frac{(a^2+8a+16) - (a^2-8a+16)}{a^2-16} = \frac{a^2+8a+16-a^2+8a-16}{a^2-16} = \frac{16a}{a^2-16}$.
Теперь выполним умножение. Упростим второй множитель:
$\frac{16-a^2}{32a^3} = \frac{-(a^2-16)}{32a^3}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{16a}{a^2-16} \cdot \frac{-(a^2-16)}{32a^3} = \frac{16a \cdot (-(a^2-16))}{(a^2-16) \cdot 32a^3}$.
Сократим общие множители $(a^2-16)$, $16$ и $a$:
$\frac{-1}{2a^2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2a^2}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x-3$:
$7x - \frac{4x}{x-3} = \frac{7x(x-3)}{x-3} - \frac{4x}{x-3} = \frac{7x^2-21x-4x}{x-3} = \frac{7x^2-25x}{x-3} = \frac{x(7x-25)}{x-3}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Упростим делитель:
$\frac{14x-50}{3x-9} = \frac{2(7x-25)}{3(x-3)}$.
Выполним умножение:
$\frac{x(7x-25)}{x-3} \cdot \frac{3(x-3)}{2(7x-25)}$.
Сократим общие множители $(7x-25)$ и $(x-3)$:
$\frac{3x}{2}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.

3) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:
$8-4a = 4(2-a) = -4(a-2)$;
$7a+a^2 = a(7+a) = a(a+7)$.
$\frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2} = \frac{a+7}{-4(a-2)} \cdot \frac{32}{a(a+7)}$.
Сократим общие множители $(a+7)$ и $4$:
$\frac{1}{-(a-2)} \cdot \frac{8}{a} = \frac{-8}{a(a-2)}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{2a}{a-2} + \frac{-8}{a(a-2)} = \frac{2a^2}{a(a-2)} - \frac{8}{a(a-2)} = \frac{2a^2-8}{a(a-2)}$.
Разложим числитель на множители: $2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$.
$\frac{2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}$.
Сократим общий множитель $(a-2)$:
$\frac{2(a+2)}{a}$.
Ответ: $\frac{2(a+2)}{a}$.

4) Упростим выражение в первых скобках. Заметим, что $c^2-16c+64=(c-8)^2$.
$\frac{9c}{c-8} + \frac{7c}{(c-8)^2} = \frac{9c(c-8)}{(c-8)^2} + \frac{7c}{(c-8)^2} = \frac{9c^2-72c+7c}{(c-8)^2} = \frac{9c^2-65c}{(c-8)^2} = \frac{c(9c-65)}{(c-8)^2}$.
Упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатели $c^2-64=(c-8)(c+8)$ и числитель $8c+64=8(c+8)$.
$\frac{9c-65}{c^2-64} - \frac{8c+64}{c-8} = \frac{9c-65}{(c-8)(c+8)} - \frac{8(c+8)}{c-8} = \frac{9c-65}{(c-8)(c+8)} - \frac{8(c+8)^2}{(c-8)(c+8)}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{9c-65 - 8(c^2+16c+64)}{(c-8)(c+8)} = \frac{9c-65-8c^2-128c-512}{(c-8)(c+8)} = \frac{-8c^2-119c-577}{(c-8)(c+8)}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{c(9c-65)}{(c-8)^2} : \frac{-8c^2-119c-577}{(c-8)(c+8)} = \frac{c(9c-65)}{(c-8)^2} \cdot \frac{(c-8)(c+8)}{-(8c^2+119c+577)}$.
Сократим $(c-8)$:
$\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(-(8c^2+119c+577))} = -\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(8c^2+119c+577)}$.
(Примечание: в данном задании, вероятно, присутствует опечатка в условии, так как выражение не упрощается до более простого вида).
Ответ: $-\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(8c^2+119c+577)}$.

5) Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $(a+b)(a^2+ab+b^2)$:
$\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{a^2(a^2+ab+b^2) - a^3(a+b)}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^4+a^3b+a^2b^2 - a^4-a^3b}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}$.
Упростим выражение во вторых скобках. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{a}{a-b} - \frac{a^2}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)}$.
Выполним деление:
$\frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} : \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$.
Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$:
$\frac{ab(a-b)}{a^2+ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a^2+ab+b^2}$.

6) Упростим выражение в скобках. $36-b^2 = (6-b)(6+b) = -(b-6)(b+6)$.
$\frac{b}{b+6} + \frac{36+b^2}{-(b-6)(b+6)} - \frac{b}{b-6} = \frac{b}{b+6} - \frac{36+b^2}{(b-6)(b+6)} - \frac{b}{b-6}$.
Общий знаменатель $(b-6)(b+6)$:
$\frac{b(b-6) - (36+b^2) - b(b+6)}{(b-6)(b+6)} = \frac{b^2-6b-36-b^2-b^2-6b}{b^2-36} = \frac{-b^2-12b-36}{b^2-36}$.
Вынесем минус из числителя и свернем его по формуле квадрата суммы: $-(b^2+12b+36) = -(b+6)^2$.
$\frac{-(b+6)^2}{(b-6)(b+6)} = \frac{-(b+6)}{b-6} = \frac{b+6}{6-b}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{6b+b^2}{(6-b)^2} = \frac{b(6+b)}{(6-b)^2}$.
$\frac{b+6}{6-b} : \frac{b(6+b)}{(6-b)^2} = \frac{b+6}{6-b} \cdot \frac{(6-b)^2}{b(b+6)}$.
Сократим общие множители $(b+6)$ и $(6-b)$:
$\frac{6-b}{b}$.
Ответ: $\frac{6-b}{b}$.

7) Выполним действия по порядку. Сначала деление в скобках. $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
$\frac{2x}{x^3+1} : \frac{1-x}{x^2-x+1} = \frac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{x^2-x+1}{1-x} = \frac{2x}{(x+1)(1-x)} = \frac{2x}{1-x^2}$.
Теперь сложение в скобках:
$\frac{2x}{1-x^2} + \frac{2}{x-1} = \frac{2x}{1-x^2} - \frac{2}{1-x} = \frac{2x - 2(1+x)}{1-x^2} = \frac{2x-2-2x}{1-x^2} = \frac{-2}{1-x^2} = \frac{2}{x^2-1}$.
Результат выражения в скобках равен $\frac{2}{x^2-1}$. Теперь выполним оставшиеся действия.
$\frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-2x+1}{4} : \frac{x-1}{x+1}$.
Выполним умножение. $x^2-1=(x-1)(x+1)$, $x^2-2x+1=(x-1)^2$.
$\frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{4} = \frac{2(x-1)^2}{4(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{2(x+1)}$.
И, наконец, деление:
$\frac{x-1}{2(x+1)} : \frac{x-1}{x+1} = \frac{x-1}{2(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x-1}$.
Сократим общие множители $(x-1)$ и $(x+1)$:
$\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.