Номер 863, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 863, страница 218.

Условие.

863. Полагая данные дроби несократимыми, замените x и y такими одночленами, чтобы получилось тождество:

1) $ \frac{x}{7a^2b^3} \cdot \frac{y}{4c} = \frac{6a^3c^2}{b}; $

2) $ \frac{36m^2n^4}{x} : \frac{y}{35p^6} = \frac{21n}{5mp^3}. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано тождество: $\frac{x}{7a^2b^3} \cdot \frac{y}{4c} = \frac{6a^3c^2}{b}$.

Сначала выполним умножение дробей в левой части равенства: $\frac{x \cdot y}{(7a^2b^3) \cdot (4c)} = \frac{xy}{28a^2b^3c}$.

Теперь приравняем полученное выражение к правой части тождества, чтобы получить уравнение: $\frac{xy}{28a^2b^3c} = \frac{6a^3c^2}{b}$.

Из этого уравнения выразим произведение одночленов $x$ и $y$:$xy = \frac{6a^3c^2 \cdot (28a^2b^3c)}{b} = (6 \cdot 28) \cdot a^{3+2} \cdot b^{3-1} \cdot c^{2+1} = 168a^5b^2c^3$.

По условию задачи, исходные дроби $\frac{x}{7a^2b^3}$ и $\frac{y}{4c}$ несократимы. Это накладывает ограничения на одночлены $x$ и $y$:

1. Дробь $\frac{x}{7a^2b^3}$ несократима, значит, у $x$ и знаменателя $7a^2b^3$ нет общих множителей. Следовательно, одночлен $x$ не может содержать множители $7$, $a$ и $b$.

2. Дробь $\frac{y}{4c}$ несократима, значит, у $y$ и знаменателя $4c$ нет общих множителей. Следовательно, одночлен $y$ не может содержать множители $2$ (поскольку $4 = 2^2$) и $c$.

Разложим полученное произведение $xy = 168a^5b^2c^3$ на простые множители. Коэффициент $168 = 2^3 \cdot 3 \cdot 7$. Таким образом, $xy = (2^3 \cdot 3 \cdot 7) a^5 b^2 c^3$.

Теперь распределим эти множители между $x$ и $y$ в соответствии с условиями несократимости:

- Множители $a^5$, $b^2$ и $7$ должны принадлежать $y$, так как $x$ не может содержать $a, b$ или $7$.

- Множители $c^3$ и $2^3$ должны принадлежать $x$, так как $y$ не может содержать $c$ или $2$.

- Множитель $3$ не противоречит ни одному из условий, поэтому может входить в состав как $x$, так и $y$. В таких задачах обычно достаточно найти одну пару одночленов. Отнесем множитель $3$ к $x$.

Соберем одночлены $x$ и $y$ из их множителей:
$x = 2^3 \cdot 3 \cdot c^3 = 24c^3$
$y = 7 \cdot a^5 \cdot b^2 = 7a^5b^2$

Ответ: $x = 24c^3$, $y = 7a^5b^2$.

2) Дано тождество: $\frac{36m^2n^4}{x} : \frac{y}{35p^6} = \frac{21n}{5mp^3}$.

Выполним деление дробей в левой части, заменив его на умножение на обратную дробь:
$\frac{36m^2n^4}{x} \cdot \frac{35p^6}{y} = \frac{36 \cdot 35 \cdot m^2n^4p^6}{xy} = \frac{1260m^2n^4p^6}{xy}$.

Теперь тождество имеет вид: $\frac{1260m^2n^4p^6}{xy} = \frac{21n}{5mp^3}$.

Из этого равенства выразим произведение $xy$ с помощью правила пропорции:
$xy \cdot 21n = 1260m^2n^4p^6 \cdot 5mp^3$.

Упростим правую часть: $xy \cdot 21n = 6300 m^{2+1} n^4 p^{6+3} = 6300m^3n^4p^9$.

Найдем $xy$, разделив правую часть на $21n$:
$xy = \frac{6300m^3n^4p^9}{21n} = 300m^3n^{4-1}p^9 = 300m^3n^3p^9$.

По условию, дроби $\frac{36m^2n^4}{x}$ и $\frac{y}{35p^6}$ несократимы. Это означает, что $x$ не имеет общих множителей с $36m^2n^4$ (то есть с $2, 3, m, n$), а $y$ не имеет общих множителей с $35p^6$ (то есть с $5, 7, p$).

Разложим $xy$ на множители. Коэффициент $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.Следовательно, $xy = (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) m^3 n^3 p^9$.

Распределим множители между $x$ и $y$ согласно условиям несократимости:

- Множители $2^2, 3, m^3, n^3$ должны принадлежать $y$ (так как $x$ не может делиться на $2, 3, m, n$).

- Множители $5^2$ и $p^9$ должны принадлежать $x$ (так как $y$ не может делиться на $5, p$).

В данном случае распределение множителей является однозначным.

Собираем одночлены:
$x = 5^2 \cdot p^9 = 25p^9$
$y = 2^2 \cdot 3 \cdot m^3 n^3 = 12m^3n^3$

Ответ: $x = 25p^9$, $y = 12m^3n^3$.