Номер 868, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 868, страница 219.
№868 (с. 219)
Условие. №868 (с. 219)
скриншот условия

868. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения
$(\frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2}) : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} - \frac{2a^2}{9-a^2}$
не зависит от значения $a$.
Решение 1. №868 (с. 219)

Решение 2. №868 (с. 219)

Решение 3. №868 (с. 219)

Решение 4. №868 (с. 219)

Решение 5. №868 (с. 219)

Решение 6. №868 (с. 219)

Решение 7. №868 (с. 219)

Решение 8. №868 (с. 219)
Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения $a$, необходимо упростить это выражение. Выполним действия по порядку, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ).
Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, а также выражение, на которое производится деление, не должно быть равно нулю.
- $ (a-3)^2 \neq 0 \implies a \neq 3 $
- $ 9-a^2 \neq 0 \implies a^2 \neq 9 \implies a \neq \pm 3 $
- $ (a+3)^2 \neq 0 \implies a \neq -3 $
- $ (a^2-9)(a^2-27) \neq 0 \implies a^2 \neq 9 $ и $ a^2 \neq 27 $, откуда $ a \neq \pm 3 $ и $ a \neq \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} $
- $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $ (числитель делителя) $ \implies 2a-3 \neq 0 \implies a \neq \frac{3}{2} $
Таким образом, ОДЗ: $ a $ — любое действительное число, кроме $ \pm 3, \pm 3\sqrt{3}, \frac{3}{2} $.
1. Упрощение выражения в скобках
$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $
Преобразуем второй член, изменив знак в знаменателе: $ 9-a^2 = -(a^2-9) $.
$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} + \frac{6}{a^2-9} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $
Заметим, что полученное выражение имеет вид формулы полного квадрата $ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 $, где:
$ A^2 = \frac{1}{(a-3)^2} \implies A = \frac{1}{a-3} $
$ B^2 = \frac{9}{(a+3)^2} \implies B = \frac{3}{a+3} $
Проверим, совпадает ли средний член с $ 2AB $:
$ 2AB = 2 \cdot \frac{1}{a-3} \cdot \frac{3}{a+3} = \frac{6}{(a-3)(a+3)} = \frac{6}{a^2-9} $
Средний член совпадает, следовательно, выражение в скобках можно свернуть по формуле квадрата суммы:
$ \left( \frac{1}{a-3} + \frac{3}{a+3} \right)^2 $
Теперь упростим выражение внутри скобок, приведя его к общему знаменателю $ (a-3)(a+3) = a^2-9 $:
$ \frac{1(a+3) + 3(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+3+3a-9}{a^2-9} = \frac{4a-6}{a^2-9} = \frac{2(2a-3)}{a^2-9} $
Возведем полученную дробь в квадрат:
$ \left( \frac{2(2a-3)}{a^2-9} \right)^2 = \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} $
2. Выполнение деления
Теперь выполним деление результата первого действия на вторую дробь из условия:
$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} $
Заменим деление умножением на обратную дробь:
$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} \cdot \frac{(a^2-9)(a^2-27)}{4(2a-3)^2} $
Сократим одинаковые множители. Это возможно, так как в ОДЗ $ a^2-9 \neq 0 $ и $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $:
$ \frac{\cancel{4(2a-3)^2}}{(a^2-9)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-9)}(a^2-27)}{\cancel{4(2a-3)^2}} = \frac{a^2-27}{a^2-9} $
3. Выполнение вычитания
Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним последнее действие:
$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{9-a^2} $
Изменим знак в знаменателе второй дроби, чтобы привести дроби к общему знаменателю:
$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{-(a^2-9)} = \frac{a^2-27}{a^2-9} + \frac{2a^2}{a^2-9} $
Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$ \frac{a^2-27+2a^2}{a^2-9} = \frac{3a^2-27}{a^2-9} $
Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:
$ \frac{3(a^2-9)}{a^2-9} $
Поскольку $ a^2-9 \neq 0 $ для всех допустимых значений $ a $, сократим дробь:
$ \frac{3\cancel{(a^2-9)}}{\cancel{a^2-9}} = 3 $
В результате всех преобразований мы получили число 3. Так как это значение является константой, оно не зависит от переменной $ a $.
Ответ: В результате упрощения исходное выражение равно 3. Так как полученное значение является постоянным числом, оно не зависит от $a$ при всех допустимых значениях, что и требовалось доказать.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 868 расположенного на странице 219 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №868 (с. 219), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.