Номер 868, страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 868, страница 219.

Условие.

868. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$(\frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2}) : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} - \frac{2a^2}{9-a^2}$

не зависит от значения $a$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения $a$, необходимо упростить это выражение. Выполним действия по порядку, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, а также выражение, на которое производится деление, не должно быть равно нулю.

• $ (a-3)^2 \neq 0 \implies a \neq 3 $
• $ 9-a^2 \neq 0 \implies a^2 \neq 9 \implies a \neq \pm 3 $
• $ (a+3)^2 \neq 0 \implies a \neq -3 $
• $ (a^2-9)(a^2-27) \neq 0 \implies a^2 \neq 9 $ и $ a^2 \neq 27 $, откуда $ a \neq \pm 3 $ и $ a \neq \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} $
• $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $ (числитель делителя) $ \implies 2a-3 \neq 0 \implies a \neq \frac{3}{2} $

Таким образом, ОДЗ: $ a $ — любое действительное число, кроме $ \pm 3, \pm 3\sqrt{3}, \frac{3}{2} $.

1. Упрощение выражения в скобках

$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $

Преобразуем второй член, изменив знак в знаменателе: $ 9-a^2 = -(a^2-9) $.

$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} + \frac{6}{a^2-9} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $

Заметим, что полученное выражение имеет вид формулы полного квадрата $ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 $, где:

$ A^2 = \frac{1}{(a-3)^2} \implies A = \frac{1}{a-3} $

$ B^2 = \frac{9}{(a+3)^2} \implies B = \frac{3}{a+3} $

Проверим, совпадает ли средний член с $ 2AB $:

$ 2AB = 2 \cdot \frac{1}{a-3} \cdot \frac{3}{a+3} = \frac{6}{(a-3)(a+3)} = \frac{6}{a^2-9} $

Средний член совпадает, следовательно, выражение в скобках можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$ \left( \frac{1}{a-3} + \frac{3}{a+3} \right)^2 $

Теперь упростим выражение внутри скобок, приведя его к общему знаменателю $ (a-3)(a+3) = a^2-9 $:

$ \frac{1(a+3) + 3(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+3+3a-9}{a^2-9} = \frac{4a-6}{a^2-9} = \frac{2(2a-3)}{a^2-9} $

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ \left( \frac{2(2a-3)}{a^2-9} \right)^2 = \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} $

2. Выполнение деления

Теперь выполним деление результата первого действия на вторую дробь из условия:

$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} $

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} \cdot \frac{(a^2-9)(a^2-27)}{4(2a-3)^2} $

Сократим одинаковые множители. Это возможно, так как в ОДЗ $ a^2-9 \neq 0 $ и $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $:

$ \frac{\cancel{4(2a-3)^2}}{(a^2-9)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-9)}(a^2-27)}{\cancel{4(2a-3)^2}} = \frac{a^2-27}{a^2-9} $

3. Выполнение вычитания

Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним последнее действие:

$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{9-a^2} $

Изменим знак в знаменателе второй дроби, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{-(a^2-9)} = \frac{a^2-27}{a^2-9} + \frac{2a^2}{a^2-9} $

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2-27+2a^2}{a^2-9} = \frac{3a^2-27}{a^2-9} $

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$ \frac{3(a^2-9)}{a^2-9} $

Поскольку $ a^2-9 \neq 0 $ для всех допустимых значений $ a $, сократим дробь:

$ \frac{3\cancel{(a^2-9)}}{\cancel{a^2-9}} = 3 $

В результате всех преобразований мы получили число 3. Так как это значение является константой, оно не зависит от переменной $ a $.

Ответ: В результате упрощения исходное выражение равно 3. Так как полученное значение является постоянным числом, оно не зависит от $a$ при всех допустимых значениях, что и требовалось доказать.